Комплексне число

Будь-яке комплексне число ${\displaystyle z=a+bi}$ складається з двох компонентів[2]:

• Величина ${\displaystyle a}$ називається дійсною частиною числа ${\displaystyle z}$ і позначається ${\displaystyle \operatorname {Re} \,z}$ або ${\displaystyle \operatorname {Re} (z).}$ Також зустрічається готичний символ[3]: ${\displaystyle \Re (z).}$
  • Якщо ${\displaystyle a=0}$, то ${\displaystyle z}$ називається уявним або чисто уявним числом. Замість ${\displaystyle 0+bi}$ зазвичай пишуть просто ${\displaystyle bi.}$
• Величина ${\displaystyle b}$ називається уявною частиною числа ${\displaystyle z}$ і позначається ${\displaystyle \operatorname {Im} \,z}$ або ${\displaystyle \operatorname {Im} (z).}$ Також зустрічається готичний символ[4]: ${\displaystyle \Im (z).}$
  • Якщо ${\displaystyle b=0}$, то ${\displaystyle z}$ є дійсним числом. Замість ${\displaystyle a+0i}$ зазвичай пишуть просто ${\displaystyle a.}$ Наприклад, комплексний нуль ${\displaystyle 0+0i}$ позначається просто як ${\displaystyle 0.}$

Арифметичні дії виконуються аналогічно до дій з многочленами, але з урахуванням рівності ${\displaystyle i^{2}=-1\,}$. Нехай ${\displaystyle z_{1}=a+bi\,}$ та ${\displaystyle z_{2}=c+di\,}$ — комплексні числа. Тоді:

1. ${\displaystyle z_{1}+z_{2}=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\,}$
2. ${\displaystyle z_{1}-z_{2}=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\,}$
3. ${\displaystyle z_{1}z_{2}=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^{2}=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i\,}$
4. ${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+ib}{c+id}}={\frac {(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i}$
5. ${\displaystyle z_{1}=z_{2}\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}\wedge b_{1}=b_{2}}$

Для комплексних чисел певним чином визначають також інші операції, наприклад, піднесення до довільного комплексного степеня, логарифмування, знаходження синуса, косинуса тощо. Деякі з цих операцій не є однозначними і ведуть до розгляду багатозначних функцій, які взагалі часто виникають при вивченні функцій комплексної змінної. Теорію про функції комплексної змінної часто називають комплексним аналізом. Одним зі способів означення елементарних функцій комплексної змінної є задання такої функції як суми степеневого ряду, в який можна розкласти аналогічну функцію дійсної змінної (див. Ряд Тейлора).

1. ${\displaystyle z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}\,}$
2. ${\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=z_{2}\cdot z_{1}\,}$
3. ${\displaystyle (z_{1}+z_{2})+z_{3}=z_{1}+(z_{2}+z_{3})\,}$
4. ${\displaystyle z_{1}\cdot (z_{2}\cdot z_{3})=(z_{1}\cdot z_{2})\cdot z_{3}\,}$
5. ${\displaystyle (z_{1}+z_{2})\cdot z_{3}=z_{1}\cdot z_{3}+z_{2}\cdot z_{3}\,}$

Нехай ${\displaystyle ~x}$ і ${\displaystyle ~y}$ — дійсні числа, такі, що комплексне число ${\displaystyle ~z=x+iy}$ (звичайні позначення). Тоді

• Числа ${\displaystyle \operatorname {Re} z}$ і ${\displaystyle \operatorname {Im} z}$ називаються відповідно дійсною (Real) і уявною (Imaginary) частинами ${\displaystyle ~z}$.
  • Якщо ${\displaystyle ~x=0}$, то ${\displaystyle ~z}$ називається уявним або чисто уявним.
• Число ${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ називається модулем числа ${\displaystyle ~z}$, часто його записують буквою ${\displaystyle r}$ або ${\displaystyle ~\rho }$. Для дійсного числа модуль збігається з його абсолютною величиною. Деякі властивості модуля:

  1) ${\displaystyle |z|\geqslant 0\,}$, причому ${\displaystyle |z|=0\,}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle z=0\,}$

  2) ${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\leqslant |z_{1}|+|z_{2}|\,}$ (нерівність трикутника)

  3) ${\displaystyle |z_{1}\cdot z_{2}|=|z_{1}|\cdot |z_{2}|\,}$

  4) ${\displaystyle |z_{1}/z_{2}|=|z_{1}|/|z_{2}|\,}$

  З третьої властивості випливає ${\displaystyle |a\cdot z|=|a|\cdot |z|}$, де ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$. Дана властивість модуля разом з першими двома властивостями вводять на множені комплексних чисел структуру двовимірного нормованого простору над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

• Кут ${\displaystyle \varphi }$ такий, що: ${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {x}{|z|}}}$ і ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {y}{|z|}}~~}$, називається аргументом ${\displaystyle ~z}$ і позначається ${\displaystyle \operatorname {Arg} z}$. Для комплексного нуля значення аргумента не визначене, для ненульового числа ${\displaystyle ~z}$ аргумент визначається з точністю до ${\displaystyle 2k\pi }$, де ${\displaystyle k}$ — будь-яке ціле число. Головним значенням аргумента (позначається ${\displaystyle \operatorname {arg} z}$[5]) називається таке значення, що ${\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi }$.
• Оберненим до числа ${\displaystyle z}$ називають таке число, яке, при множенні на ${\displaystyle z}$ дає одиницю. Щоб знайти ${\displaystyle {\frac {1}{z}}}$, чисельник і знаменник числа можна помножити на спряжене до ${\displaystyle z}$ комплексне число, і скористатись тим, що ${\displaystyle z{\bar {z}}=\|z\|^{2}}$. Таким чином,

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.}$

Якщо комплексне число ${\displaystyle ~z=x+iy}$, то число ${\displaystyle ~{\bar {z}}=x-iy}$ називається спряженим (або комплексно спряженим) до ${\displaystyle ~z}$.

Перехід до спряженого числа можна розглядати як одномісну операцію; перерахуємо її властивості.

• ${\displaystyle {\bar {\bar {z}}}=z}$ (спряжене до спряженого є початкове)
• ${\displaystyle z\cdot {\bar {z}}=|z|^{2}}$
• ${\displaystyle {\overline {z_{1}\pm z_{2}}}={\bar {z_{1}}}\pm {\bar {z_{2}}}}$
• ${\displaystyle {\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}={\bar {z}}_{1}\cdot {\bar {z}}_{2}}$
• ${\displaystyle {\overline {z_{1}/z_{2}}}={\bar {z}}_{1}/{\bar {z}}_{2}}$

Узагальнення: ${\displaystyle {\overline {p(z)}}=p({\bar {z}})}$, де ${\displaystyle p(z)}$ — довільний комплексний многочлен.

• ${\displaystyle |{\bar {z}}|=|z|}$ (модуль спряженого числа такий же, як у вихідного)
• ${\displaystyle \operatorname {Re} \ z={\frac {z+{\bar {z}}}{2}};\quad \operatorname {Im} \ z={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}}$

Ріманова поверхня для √z. По вертикалі відкладається дійсна частина функції. Щоб отримати поверхню, що відповідає уявній частині, треба розвернути фігуру на 180° навколо вертикальної осі

Якщо є комплексне число ${\displaystyle z=a+bi}$, то у рівняння ${\displaystyle \omega ^{2}=z}$ є два корені: ${\displaystyle \omega =\pm (\gamma +\delta i)}$, де

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}$

і

${\displaystyle \delta =\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}},}$

де ${\displaystyle \operatorname {sgn}(b)}$ — функція, що дорівнює 1 для додатних чисел і -1 для від'ємних.

Варто зазначити, що деякі з рівностей, що є правильними, якщо під знаком кореня стоять додатні числа, не виконуються для комплексних коренів

• ${\displaystyle {\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}*{\sqrt {w}}}$ (контрприклад — ${\displaystyle z=-1,w=-1}$)
• ${\displaystyle {\sqrt {1/z}}=1/{\sqrt {z}}}$ (контрприклад — ${\displaystyle z=-1}$)

Існує кілька розповсюджених хибних парадоксів, що виникають через неправильне використання квадратного кореня, наприклад

${\displaystyle 1={\sqrt {1}}={\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1.}$

корені п'ятого степеня з одиниці

У загальному випадку, рівняння ${\displaystyle \omega ^{n}=z}$ має n коренів (із врахуванням кратності). Якщо розташувати їх на комплексній площині, то можна побачити, що всі вони завжди рівномірно розташовані на колі з радіусом ${\displaystyle \|\omega \|=\|z\|^{1/n}}$.

Зручним способом обрахувати ці корені є формула Муавра:

${\displaystyle z^{1/n}=r^{1/n}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),}$

де k = 0, 1, …, n—1.

Для використання цієї формули число z має бути представлене в тригонометричній формі.

Геометрична інтерпретація комплексних чисел.

Комплексне число можна ототожнити з точкою площини:

• в декартовій системі координат точка описується парою координат ${\displaystyle (a,\;b)}$ чи ${\displaystyle (a+bi)\,}$ (алгебраїчна форма комплексного числа).
• в полярній системі координат точка описується довжиною вектора ${\displaystyle r\,}$ (від початку координат до даної точки) та кутом ${\displaystyle \varphi }$ між віссю абсцис та даним вектором (тригонометрична форма комплексного числа).

Для переходу від однієї форми запису комплексного числа до іншої користуються формулою:

${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )}$,

де ${\displaystyle r\,}$ і ${\displaystyle \varphi }$ — дійсні числа, причому ${\displaystyle r\,}$ додатне. У такій формі можна подати довільне комплексне число, відмінне від 0.

${\displaystyle r\,}$ (називається модулем числа ${\displaystyle z\,}$) — це відстань між точкою ${\displaystyle (a,b)\,}$ та початком координат.

${\displaystyle \varphi }$ (називається аргументом числа ${\displaystyle z\,}$) — кут (виражений у радіанах) між правою піввіссю осі абсцис і вищезгаданим вектором, причому кут відраховується проти годинникової стрілки (а в разі руху за стрілкою годинника береться зі знаком «мінус»).

${\displaystyle a=r\cos \varphi }$,

${\displaystyle b=r\sin \varphi }$,

${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,}$,

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {a}{r}},\qquad \sin \varphi ={\frac {b}{r}},\qquad {\text{tg}}\;\varphi ={\frac {b}{a}}.}$

Геометрична інтерпретація множення числа 2 + і(синій трикутник) на 3 + і(червоний трикутник)

Подання числа у тригонометричній формі єдине з точністю до цілої кількості повних обертів, які можна додавати до аргументу.

З використанням формули Ейлера можна переписати тригонометричну форму так:

${\displaystyle z=re^{i\varphi }}$.

Геометричний зміст зручний для інтерпретації операцій над комплексними числами. Так, додавання та віднімання комплексних чисел рівносильне відповідно додаванню та відніманню відповідних векторів. При множенні комплексних чисел їх модулі множаться, а аргументи додаються (так що поворот навколо початку координат можна інтерпретувати як множення на певне комплексне число з одиничним модулем). При діленні комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаються. При піднесенні комплексного числа до цілого степеня його модуль підноситься до цього ж степеня, а аргумент множиться на показник степеня; це правило називається формулою Муавра і значно спрощує виконання піднесення комплексних чисел до великих степенів.

Кожному комплексному числу ${\displaystyle a+ib\,}$ (з дійсними ${\displaystyle a\,}$ та ${\displaystyle b\,}$) можна поставити у відповідність квадратну матрицю 2-го порядку виду ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}}$. Така відповідність задає ізоморфізм між системою комплексних чисел і системою матриць такого виду, якщо додаванню, відніманню та множенню комплексних чисел поставити у відповідність звичайні додавання, віднімання та множення матриць. Легко бачити, що в цьому представлені операції комплексного спряження відповідає транспонування матриці. Дійсна одиниця зображується як одинична матриця ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$, а уявна одиниця — як ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$.

Неважко прослідкувати, що справді вищезгадані арифметичні дії дають відповідні результати при виконанні їх над числами та над відповідними матрицями (що й доводить ізоморфність цих структур):

1. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}c&-d\\d&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a+c&-(b+d)\\b+d&a+c\end{pmatrix}}}$, що відповідає дії ${\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\,}$.
2. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}c&-d\\d&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ac-bd&-(ad+bc)\\ad+bc&ac-bd\end{pmatrix}}}$, що відповідає дії ${\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\,}$.

Як можна бачити, матриці, якими представляються комплексні числа є подібними до матриць повороту, тому множення комплексних чисел можна представити у геометричній формі як поворот в комплексній площині.

Оскільки змінний струм є коливальним процесом, його зручно описувати і досліджувати з застосуванням комплексних чисел. Вводяться також поняття імпедансу або комплексного опору для реактивних елементів електричного кола таких як ємність і індуктивність — це допомагає розрахувати струми в ланцюзі. З огляду на те, що традиційно символ ${\displaystyle {\displaystyle i}}$ в електротехніці позначає величину струму, уявну одиницю там позначають буквою ${\displaystyle \displaystyle j}$. У багатьох областях електротехніки (в основному радіочастотної і оптичної) використовується не запис рівнянь струму і напруги для ланцюга, а безпосередньо рівняння Максвелла в їх спектральному поданні, фізичні величини яких задані в комплексній площині, і при переході з ${\displaystyle \displaystyle (t,x)}$ — в ${\displaystyle \displaystyle (\omega ,k)}$ — простір (де ${\displaystyle \displaystyle t}$ — час, ${\displaystyle \displaystyle \omega }$ — кутова частота) за допомогою перетворення Фур'є виходять простіші рівняння без похідних.

В квантовій механіці частинки завжди мають хвильову природу, аж до моменту виміру, що провокує колапс хвильової функції. Для того щоб коректно представити це в математичній формі, вводиться комплексна функція, що називається хвильовою, що дозволяє виразити стан будь-якої квантової системи.[6]

Одна з найбільш важливих у аеродинаміці формул, перетворення Жуковського, що використовується для побудови оптимального профілю крила, є функцією комплексної змінної.

Простір Мінковського, що є математичною інтерпретацією чотиривимірного простору-часу нашого Всесвіту, фактично має три дійсних і одну уявну координату. Перетворення Лоренца можна виразити як поворот у цьому просторі.

У теорії автоматичного керування, рівняння у комплексних числах потрібні для визначення стійкості системи — здатність системи, що автоматично керується, повертатися в сталий режим після деякого збурення.

Множина Мандельброта і множина Жуліа визначаються як області, на яких деяка ітераційно визначена послідовність комплексних чисел завжди буде мати скінченну верхню границю.

Одна з проблем тисячоліття, гіпотеза Рімана, передбачає деяку форму розподілу нулів комплексної функції, що має назву дзета-функція Рімана. Цей розподіл виявляється тісно пов'язаним з розподілом простих чисел.