Ортонормований базис

В кожному гільбертовому просторі ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$, ортонормована система векторів ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\dots }$ утворює ортонормований базис тоді і тільки тоді, коли вона задовільняє наступним умовам[1]:

1. Довільний вектор ${\displaystyle \mathbf {a} \in {\mathcal {U}}}$ може бути записано у вигляді:
   ${\displaystyle \mathbf {a} ={\hat {\alpha }}_{1}\mathbf {u} _{1}+{\hat {\alpha }}_{2}\mathbf {u} _{2}+\dots }$, де ${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{k}=(\mathbf {u} _{k},\mathbf {a} )}$ (k = 1, 2, …)
2. Для будь-якого вектора ${\displaystyle \mathbf {a} ={\hat {\alpha }}_{1}\mathbf {u} _{1}+{\hat {\alpha }}_{2}\mathbf {u} _{2}+\dots }$
   ${\displaystyle \|\mathbf {a} \|^{2}=|{\hat {\alpha }}_{1}|^{2}+|{\hat {\alpha }}_{2}|^{2}+\dots }$(рівність Персеваля)
3. Для довільної пари векторів ${\displaystyle \mathbf {a} ={\hat {\alpha }}_{1}\mathbf {u} _{1}+{\hat {\alpha }}_{2}\mathbf {u} _{2}+\dots }$ та ${\displaystyle \mathbf {b} ={\hat {\beta }}_{1}\mathrm {u} _{1}+{\hat {\beta }}_{2}\mathrm {u} _{2}+\dots }$
   ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )={\bar {\hat {\alpha }}}_{1}\beta _{1}+{\bar {\hat {\alpha }}}_{2}\beta _{2}+\dots }$
4. Ортонормована система u₁, u₂, … не міститься в жодній іншій ортонормованій системі простору ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$. Для довільного вектора ${\displaystyle a\in {\mathcal {U}}}$ із (u_k, a) = 0 (k = 1, 2, …) випливає, що a = 0.

З кожної із цих чотирьох умов випливають три інших.

Звернемо увагу на те, що якщо a та a' — два вектори з одними і тими ж координатами â_k то ǁa − a' ǁ = 0 (теорема єдиності).

1. Корн Г., Корн Т. (1984). 14.7-4. Справочник по математике для научних работников и инженеров (рос.) (вид. друге). Москва: Наука.

• Ортонормальні базиси: координати у гільбертовому просторі
• Векторний простір