Орієнтована площа

Якщо на орієнтованій площині міститься напрямлена замкнута крива ${\displaystyle \ell }$, можливо із самоперетинами і накладаннями, то для кожної точки площини, що не лежить на ${\displaystyle \ell }$, визначено цілочислову функцію (додатну, від'ємну або нульову), звану індексом точки відносно ${\displaystyle \ell }$. Вона показує скільки разів і в який бік контур ${\displaystyle \ell }$ обходить цю точку. Інтеграл по всій площині від цієї функції, якщо він існує, називають охоплюваною ${\displaystyle \ell }$ орієнтованою площею.

Для орієнтованої площі ${\displaystyle S}$ обмеженої замкнутою ламаною ${\displaystyle A_{1}\dots A_{n}}$ на площині виконується рівність

${\displaystyle S\cdot {\vec {N}}={\vec {OA_{1}}}\times {\vec {A_{1}A_{2}}}+\dots +{\vec {OA_{n}}}\times {\vec {A_{n}A_{1}}},}$

де ${\displaystyle {\vec {N}}}$ позначає одиничний вектор нормалі до площини і ${\displaystyle \times }$ — векторний добуток.

• Лопшиц А. М., Вычисление площадей ориентированных фигур, М., 1956;