Крива

Похідну за параметром позначатимемо крапкою зверху:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}={d\mathbf {r} \over dt}}$

${\displaystyle {\dot {x}}^{i}={dx^{i} \over dt}}$

Очевидно, що вектор ${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {r} }}}$ (у фізичній інтерпретації швидкість точки) є дотичним до кривої.

Квадрат відстані між двома нескінченно близькими точками ${\displaystyle \mathbf {r} }$ і ${\displaystyle \mathbf {r} +d\mathbf {r} }$ дорівнює:

${\displaystyle (1)\qquad ds^{2}=(d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} )=\sum _{i}(dx^{i})^{2}=\sum _{i}(d{\dot {x}}^{i})^{2}\,(dt)^{2}}$

Довжина відрізка кривої, коли параметр ${\displaystyle t}$ пробігає значення від ${\displaystyle t_{1}}$ до ${\displaystyle t_{2}}$, дається інтегралом:

${\displaystyle (2)\qquad s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}ds=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{i}}}\,dt}$

Якщо в інтегралі (2) розглядати верхню межу як змінний параметр, то маємо функцію ${\displaystyle s=s(t)}$, визначену з точністю до константи (точки відліку, або нижньої межі в інтегралі (2)). Ця величина ${\displaystyle s}$ також параметризує точки нашої кривої; ${\displaystyle s}$ називається натуральним параметром кривої.

Якщо вектор швидкості ${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {r} }}}$ ніде не перетворюється в нуль, то підінтегральна функція в (2) додатня, а отже функція ${\displaystyle s=s(t)}$ всюди монотонно зростає і має обернену функцію ${\displaystyle t=t(s)}$.

Із рівності ${\displaystyle ds^{2}=(d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} )}$ слідує, що похідна радіус-вектора за натуральним параметром кривої:

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={d\mathbf {r} \over ds}}$

є дотичним вектором одиничної довжини.

${\displaystyle (3)\qquad {\boldsymbol {\tau }}^{2}=({\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\tau }})=1}$

Диференціюючи (3) за натуральним параметром маємо:

${\displaystyle {d \over ds}({\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\tau }})=2({\boldsymbol {\tau }}\cdot {d{\boldsymbol {\tau }} \over ds})=0}$

Отже вектор ${\displaystyle \mathbf {k} ={d{\boldsymbol {\tau }} \over ds}={d^{2}\mathbf {r} \over ds^{2}}}$ ортогональний до кривої. Цей вектор прийнято розкладати на добуток одиничного вектора ${\displaystyle \mathbf {n} }$ нормалі до кривої, та скаляра ${\displaystyle k}$ який називається кривиною:

${\displaystyle \mathbf {k} =k\mathbf {n} }$

Покажемо (навіть двома способами), що кривина дорівнює оберненій величині до радіуса ${\displaystyle R}$ дотичного кола:

${\displaystyle (4)\qquad k={1 \over R}}$

Перший спосіб: через кут між дотичними векторами одиничної довжини в сусідніх точках кривої. Нехай в точці з параметром ${\displaystyle s}$ маємо дотичний вектор ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$, а в точці з параметром ${\displaystyle s'=s+\Delta s}$ — дотичний вектор ${\displaystyle \mathbf {\tau } '=\mathbf {\tau } +\Delta \mathbf {\tau } }$. Ці два вектора мають однакову довжину (одиницю), і якщо їхні початки звести в одну точку, утворять рівнобедрений трикутник. Якщо кут між векторами позначити ${\displaystyle \Delta \alpha }$, то довжина третьої сторони буде дорівнювати:

${\displaystyle |\Delta {\boldsymbol {\tau }}|=2\sin {{\Delta \alpha } \over 2}\approx \Delta \alpha }$

Оскільки для кола радіуса ${\displaystyle R}$ маємо ${\displaystyle \Delta s=R\Delta \alpha }$, то маємо для кривини кривої:

${\displaystyle k=|{{d{\boldsymbol {\tau }}} \over ds}|\approx {|\Delta {\boldsymbol {\tau }}| \over \Delta s}={{\Delta \alpha } \over {R\Delta \alpha }}={1 \over R}}$

Другий спосіб: через рівняння кола. Для простоти формул, візьмемо початок координат евклідового простору в точці кривої, для якої ми будемо шукати найближче коло, а також будемо відраховувати натуральні параметри кривої і кола від цієї ж точки. З точністю до членів другого порядку малості маємо для точок кривої:

${\displaystyle (5)\qquad \mathbf {r} \approx {d\mathbf {r} \over ds}s+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}{d^{2}\mathbf {r} \over ds^{2}}s^{2}=\mathbf {\tau } s+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\mathbf {k} s^{2}}$

Коло радіуса ${\displaystyle R}$, дотичне до вектора ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$, матиме центр в ортогональній до ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$ гіперплощині. Запишемо координати центра кола у вигляді ${\displaystyle \mathbf {r} _{c}=R\mathbf {n} }$, де ${\displaystyle \mathbf {n} }$ є довільним (поки що) одиничним вектором, що лежить у цій гіперплощині. Маємо ортогональність:

${\displaystyle (\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\tau }})=0}$

Рівняння точки кола в параметричній формі (параметром є центральний кут):

${\displaystyle (6)\qquad \mathbf {r} '=R\sin t{\boldsymbol {\tau }}+R(1-\cos t)\mathbf {n} }$

Врахуємо, що довжина дуги кола дорівнює ${\displaystyle s=Rt}$, і розкладемо останнє рівняння в ряд з точністю до доданків другого порядку малості:

${\displaystyle (7)\qquad \mathbf {r} '\approx Rt{\boldsymbol {\tau }}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}Rt^{2}\mathbf {n} ={\boldsymbol {\tau }}s+{1 \over {2R}}\mathbf {n} s^{2}}$

Порівнюючи рівності (5) і (7), маємо що коло буде збігатися з кривою з точністю до членів другого порядку (${\displaystyle \mathbf {r} '\approx \mathbf {r} }$), якщо:

${\displaystyle (8)\qquad \mathbf {k} ={1 \over {R}}\mathbf {n} }$

• Замкнута крива — крива у якої початок збігається з кінцем.
• Плоска крива — крива, всі точки якої лежать в одній площині.
• Проста крива — те саме, що крива Жордана
• Шлях — неперервне відображення відрізка ${\displaystyle [0,1]}$ в топологічний простір.
• Трансцендентна крива

Якщо евклідів простір має розмірність ${\displaystyle n\geqslant 3}$, то можна поставити питання про зміну орієнтації дотичної площини (в якій лежать дотичний вектор ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$ та вектор нормалі ${\displaystyle \mathbf {n} }$) при русі вздовж кривої. Розглянемо бівектор (спеціальну антисиметричну матрицю, компоненти якої виражені через координати векторів ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$ і ${\displaystyle \mathbf {n} }$) ${\displaystyle \mathbf {\sigma } =\mathbf {\tau } \wedge \mathbf {n} }$:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\tau _{i}n_{j}-\tau _{j}n_{i}}$

Величина цього бівектора дорівнює одиниці (площі квадрата, побудованого на векторах ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$ і ${\displaystyle \mathbf {n} }$):

${\displaystyle \sum _{i<j}(\sigma _{ij})^{2}={1 \over 2}\sum _{i,j}(\tau _{i}n_{j}-\tau _{j}n_{i})^{2}={1 \over 2}\sum _{i,j}(\tau _{i}^{2}n_{j}^{2}+\tau _{j}^{2}n_{i}^{2}-2(\tau _{i}n_{i})(\tau _{j}n_{j}))=({\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\tau }})(\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} )-({\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {n} )^{2}=1}$

Похідна бівектора за натуральним параметром дорівнює:

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}={\dot {\boldsymbol {\tau }}}\wedge \mathbf {n} +{\boldsymbol {\tau }}\wedge {\dot {\mathbf {n} }}=k\mathbf {n} \wedge \mathbf {n} +{\boldsymbol {\tau }}\wedge {\dot {\mathbf {n} }}={\boldsymbol {\tau }}\wedge {\dot {\mathbf {n} }}}$

Звідси робимо висновок, що дві площини ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ і ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\sigma }}+\Delta {\boldsymbol {\sigma }}}$ перетинаються по прямій, дотичній до кривої (містять вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$):

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}\wedge \mathbf {n} +{\boldsymbol {\tau }}\wedge {\dot {\mathbf {n} }}\Delta s={\boldsymbol {\tau }}\wedge (\mathbf {n} +{\dot {\mathbf {n} }}\Delta s)}$

Отже дотична площина при русі вздовж кривої обертається «довкола» дотичної прямої. Поворот в тривимірному просторі має очевидний зміст, в просторах більшої розмірності поворот означає кут між нормалями до спільної прямої. Похідна кута повороту за натуральним параметром називається скрутом:

${\displaystyle \varkappa ={d\phi \over ds}=|{\boldsymbol {\tau }}\wedge {\dot {\mathbf {n} }}|}$

Розглянемо детальніше випадок кривої в тривимірному просторі. Два одиничні вектора ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ і ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ми можемо доповнити третім, їх векторним добутком:

${\displaystyle \mathbf {f} ={\boldsymbol {\tau }}\times \mathbf {n} }$

Ці три вектори утворюють репер (змінний базис у тривимірному просторі), і ми можемо поставити питання, як похідні за натуральним параметром від векторів репера (${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\tau }}}}$, ${\displaystyle {\dot {\mathbf {n} }}}$ i ${\displaystyle {\dot {\mathbf {f} }}}$) розкладаються по цьому ж базису. Ми вже знаємо, що ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\tau }}}=k\mathbf {n} }$. Залишається знайти похідні ще двох одиничних векторів. Почнемо з одиничного вектора нормалі ${\displaystyle \mathbf {n} }$. Із постійності величини цього вектора знаходимо:

${\displaystyle 0={d \over ds}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} )=2(\mathbf {n} \cdot {\dot {\mathbf {n} }})}$

Тобто похідна ${\displaystyle {\dot {\mathbf {n} }}}$ ортогональна до самого вектора нормалі ${\displaystyle \mathbf {n} }$, а тому розкладається по двом іншим векторам репера:

${\displaystyle (9)\qquad {\dot {\mathbf {n} }}=\alpha {\boldsymbol {\tau }}+\beta \mathbf {f} }$

Користуючись цим розкладом, можна знайти і похідну ${\displaystyle {\dot {\mathbf {f} }}}$:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {f} }}={d \over ds}({\boldsymbol {\tau }}\times \mathbf {n} )={\dot {\boldsymbol {\tau }}}\times \mathbf {n} +\mathbf {\tau } \times {\dot {\mathbf {n} }}=k\mathbf {n} \times \mathbf {n} +\mathbf {\tau } \times (\alpha \mathbf {\tau } +\beta \mathbf {f} )=\beta {\boldsymbol {\tau }}\times \mathbf {f} =-\beta \mathbf {n} }$

Знайдемо коефіцієнти розкладу ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$. З останньої формули видно, що ${\displaystyle \beta }$ (з точністю до знаку) є швидкістю повороту одиничного вектора ${\displaystyle \mathbf {f} }$, а отже і дотичної до кривої площини (${\displaystyle \mathbf {f} }$ є вектором нормалі до цієї площини). Отже цей коефіцієнт є крученням: ${\displaystyle \beta =\varkappa }$. Коефіцієнт ${\displaystyle \alpha }$ можна знайти, скалярно помноживши рівність (9) на ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$:

${\displaystyle \alpha =({\boldsymbol {\tau }}\cdot {\dot {\mathbf {n} }})={d \over ds}({\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {n} )-({\dot {\boldsymbol {\tau }}}\cdot \mathbf {n} )=-(k\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} )=-k}$

У підсумку одержуємо систему трьох рівнянь:

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\tau }}}=\qquad k\mathbf {n} }$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {n} }}=-k{\boldsymbol {\tau }}\qquad +\varkappa \mathbf {f} }$

${\displaystyle \qquad {\dot {\mathbf {f} }}=\qquad -\varkappa \mathbf {n} }$

Ці рівняння відкрили два французькі математики: Жан Фредерік Френе (1852) і Жозеф Альфред Серре (1851).

Коефіцієнт ${\displaystyle \varkappa }$ у формулах Френе — Серре може бути додатнім або від'ємним в залежності від того, правою чи лівою гвинтовою лінією апроксимується крива в околі даної точки.

• Лінія
• Алгебрична крива