Парадокс Буралі-Форті

У математичній літературі зустрічаються різні формулювання, що спираються на різну термінологію і можливий набір відомих теорем. Ось одне з можливих формулювань.

Припустимо, що ${\displaystyle \Omega }$ - множина усіх порядкових чисел, тоді множина-сума ∑(${\displaystyle \Omega }$) зберігає властивості порядкового числа і є порядковим числом. Уявімо деяке число ∑(${\displaystyle \Omega }$) + 1; тоді (∑(${\displaystyle \Omega }$) + 1) > ∑(${\displaystyle \Omega }$). Проте оскільки ∑(${\displaystyle \Omega }$) є порядковим числом і зберігає властивості порядкових чисел, то ∑(${\displaystyle \Omega }$) + 1 є елементом ${\displaystyle \Omega }$, а отже (∑(${\displaystyle \Omega }$) + 1) < ∑(${\displaystyle \Omega }$). Це твердження суперечить встановленій нами раніше нерівності (∑(${\displaystyle \Omega }$) + 1) > ∑(${\displaystyle \Omega }$), тому усе твердження є суперечливим, а отже суперечливою є і теорія, що допускає таке твердження.

Парадокс був виявлений Чезаре Буралі-Форті в 1897 року і виявився одним з перших парадоксів, які показали, що наївна теорія множин суперечлива, а отже, непридатна для потреб математики. Неіснування безлічі всіх порядкових чисел суперечить концепції наївної теорії множин, яка дозволяє побудову множин з довільною властивістю елементів, тобто термів виду «множина всіх ${\displaystyle x}$ таких, що ${\displaystyle P}$» (${\displaystyle \{x\mid P\}}$).

Сучасна аксіоматична теорія множин накладає суворі обмеження на вид умови ${\displaystyle P}$, за допомогою якого можна утворювати множини. У аксіоматичних системах типу Геделя — Бернайса дозволяється вираження терми ${\displaystyle \{x\mid P\}}$ для довільних ${\displaystyle P}$, але із застереженням, що він може виявитися не множиною, а класом.

• Парадокс Рассела
• Парадокс Кантора