Порядкове число

Одне з сучасних формулювань визначення трансфінітних чисел по фон Нейману:

Множина ${\displaystyle \alpha }$ називається ординалом, якщо вона транзитивна (тобто кожен її елемент є одночасно її підмножиною) і цілком впорядкована відношенням належності ${\displaystyle \in }$.

• ${\displaystyle \varnothing }$ — ординал.
• Якщо ${\displaystyle ~\alpha }$ — ординал, то кожен елемент ${\displaystyle ~\alpha }$ — ординал.
• Якщо ${\displaystyle ~\alpha }$ — ординал, то ${\displaystyle \alpha \cup \{\alpha \}}$ — ординал (множину ${\displaystyle \alpha \cup \{\alpha \}}$ позначають через ${\displaystyle \alpha +1}$). Ординали, що збігаються з ${\displaystyle \alpha +1}$ для деякого ${\displaystyle \alpha }$, називаються неграничними ординалами, на відміну від граничних.
• Всі скінченні ординали та скінченні кардинали збігаються з натуральними числами.
• Множині натуральних чисел відповідає найменший нескінченний ординал ${\displaystyle ~\omega }$ та найменший нескінченний кардинал ${\displaystyle \aleph _{0}}$.
• Існує тільки один зліченний кардинал ${\displaystyle \aleph _{0}}$, на відміну від незліченної множини зліченних ординалів ${\displaystyle ~\omega _{1}=}$ {ω, ω+1, ω+2, …, ω·2, ω·2+1, …, ω², …, ω³, …, ω^ω, …, ω^ωω, …, ε₀, …}
• Множина всіх зліченних ординалів є першим незліченним ординалом ${\displaystyle ~\omega _{1}}$, якому відповідає кардинал ${\displaystyle \aleph _{1}}$.
• Довільна множина ${\displaystyle x}$ ординалів цілком упорядкована відношенням ${\displaystyle \in }$, при цьому ${\displaystyle \bigcap x}$ — найменший елемент довільної множини ординалів, ${\displaystyle \bigcup x}$ — ординал, не менший за довільний ординал ${\displaystyle x}$.
• Не існує множини всіх ординалів. Сукупність ординалів є класом.

1. Додавання не комутативне, зокрема: ${\displaystyle 1+\omega }$ не дорівнює ${\displaystyle \omega +1}$, тому, що ${\displaystyle 1+\omega =\omega }$.
2. Додавання асоціативне: ${\displaystyle \alpha +(\beta +\gamma )=(\alpha +\beta )+\gamma }$.

• Кардинальне число

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — Москва : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)
• Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. — 370 с.
• Бурбаки Н. Основные структуры анализа. Теория множеств. — М.: Мир, 1965 462 с.