Порядкове число
Порядкове число (трансфінітне число, ординал) — в теорії множин, узагальнення натурального числа відмінне від цілих чисел та кардинальних чисел. Введені Георгом Кантором в 1897 для класифікації цілком впорядкованих множин. Відіграють ключову роль в доведенні багатьох теорем теорії множин, особливо разом з пов'язаним з ними принципом трансфінітної індукції.
![](../I/Omega-exp-omega-labeled.svg.png.webp)
Означення
Одне з сучасних формулювань визначення трансфінітних чисел по фон Нейману:
- Множина називається ординалом, якщо вона транзитивна (тобто кожен її елемент є одночасно її підмножиною) і цілком впорядкована відношенням належності .
Властивості
- — ординал.
- Якщо — ординал, то кожен елемент — ординал.
- Якщо — ординал, то — ординал (множину позначають через ). Ординали, що збігаються з для деякого , називаються неграничними ординалами, на відміну від граничних.
- Всі скінченні ординали та скінченні кардинали збігаються з натуральними числами.
- Множині натуральних чисел відповідає найменший нескінченний ординал та найменший нескінченний кардинал .
- Існує тільки один зліченний кардинал , на відміну від незліченної множини зліченних ординалів {ω, ω+1, ω+2, …, ω·2, ω·2+1, …, ω², …, ω³, …, ωω, …, ωωω, …, ε0, …}
- Множина всіх зліченних ординалів є першим незліченним ординалом , якому відповідає кардинал .
- Довільна множина ординалів цілком упорядкована відношенням , при цьому — найменший елемент довільної множини ординалів, — ординал, не менший за довільний ординал .
- Не існує множини всіх ординалів. Сукупність ординалів є класом.
Арифметика ординалів
- Додавання не комутативне, зокрема: не дорівнює , тому, що .
- Додавання асоціативне: .
Див. також
Література
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — Москва : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
- Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)
- Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. — 370 с.
- Бурбаки Н. Основные структуры анализа. Теория множеств. — М.: Мир, 1965 462 с.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.