Перетворення Дзядика

Нижче дотримуємося нумерації формул § 3 розділу IV в [1], стор. 129-147, чи [2], стор. 154-170.

Нехай

${\displaystyle (1)\qquad a_{0}(x)y^{(k)}+a_{1}(x)y^{(k-1)}+\dots +a_{k}(x)y=p(x),\quad y^{(j)}(0)=y_{j},\ j=0,...,k{-}1,}$

— задача Коші (ЗК) для звичайного лінійного диференціального рівняння (ЗЛДР), коефіціенти якого

тобто ${\displaystyle p(x),\ a_{j}^{(k-j)}(x)}$ — неперервні функції, ${\displaystyle y_{j}}$ — довільні дійсні числа.

Перетворення Дзядика ставить у відповідність до задачі Коші звичайного лінійного диференціального рівняння (ЗК ЗЛДР) лінійне інтегральне рівняння

У [3] знайдено просту симетричну (distinct) форму для формул (24), (25) та (15) у [2, § IV.3]:

${\displaystyle {\begin{matrix}(24')&&P(x,t)&=&&\displaystyle -\sum _{\mu =1}^{k}{\frac {(t-x)^{\mu }}{(\mu -1)!}}\;\;\sum _{\nu =0}^{\mu }(-)^{\nu }{\binom {k-\nu }{\mu -\nu }}\;\;a_{\nu }^{(\mu -\nu )}(t)\qquad \quad \;\;\\(25')&&\;{\tilde {p}}(x)\quad &=&{\cal {J}}_{k}(p)(x)&\displaystyle +\sum _{\mu =1}^{k}{\frac {(-x)^{\mu }}{(\mu -1)!}}\;\;\sum _{\nu =1}^{\mu }(-)^{\nu }{\binom {k-\nu }{\mu -\nu }}\;\sum _{s=1}^{\nu }a_{s-1}^{(\mu -\nu )}(0)y_{\nu -s}\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\cal {J}}_{k}(p)(x)}$ denoting the ${\displaystyle k}$-th integral of the function ${\displaystyle p(x)}$

${\displaystyle (16)\qquad {\cal {J}}_{k}(p)(x)={\frac {1}{(\nu -1)!}}\int _{0}^{x}(x-t)^{(\nu -1)}p(t)dt.}$

Theorem. ... is equivalent to the integral equation.

Приклад

Рівняння Бесселя

${\displaystyle x^{2}y''+xy'+(x^{2}-m^{2})y=0}$

Підстановкою

${\displaystyle y(x)=x^{m}u(x)}$

отримуємо спрощене рівняння Бесселя

${\displaystyle xu''+(1+2m)u'+xu=0}$

для якого за формулами (24) та (25) обчислюємо

${\displaystyle P(x,t)=1-2m-t(x-t);\quad {\tilde {p}}(x)=2mx;\quad a_{0}(x)=x}$

звідки інтегральна форма спрощеного рівняння Бесселя має вигляд:

${\displaystyle u(x)=2m+x^{-1}\left\{\int _{0}^{x}(1-2m-t(x-t))u(t)dt\right\}}$

Перетворення Дзядика ЗК ЗЛДР у інтегральне рівняння є першою частиною розробленого ним апроксимаційного методу рішення диференциальних рівнянь, або а-методу. Цитати.

Начиная с 1969 г., В. К. Дзядык разработал и глубоко обосновал так называемый аппроксимационный метод решения дифференциальных уравнений. Этот метод даёт возможность эффективно строить при помощи ЭВМ (а иногда и без них) многочлены, а также кусочно-многочленные агрегаты хорошего приближения для функций, которые являются решениями следующих задач: задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, задача Гурса, различные задачи для уравнений с запаздывающим аргументом, краевые задачи для обыкновенных уравнений и др.

Применение этого метода к линейным дифференциальным уравнениям с многочленными коэффициентами вида ${\displaystyle \qquad (5)\qquad \qquad a_{0}(z)y^{(k)}+a_{1}(z)y^{(k-1)}+\dots +a_{k}(z)y=P(z),\qquad y^{(j)}(0)=y_{j},}$

${\displaystyle j=0,...,k-1}$, где ${\displaystyle a_{j}(z)}$ и ${\displaystyle P(z)}$ — многочлены, позволило создать и обосновать простые алгоритмы для эффективного построения алгебраических многочленов ${\displaystyle y_{n}(z)=y_{n}(z;h)}$, осуществляющих на ${\displaystyle [-h,h]}$ при ${\displaystyle a_{0}(z)\neq 0}$ в наиболее важных случаях такое приближение искомого решения ${\displaystyle y(z)}$ уравнения ${\displaystyle (5)}$, которое с точностью до множителя, не превышающего ${\displaystyle 1+An^{-1},\;A={\rm {const}}}$, совпадает с величиной ${\displaystyle E_{n}(y)}$ наилучшего приближения функции ${\displaystyle y(z)}$ многочленами степени ${\displaystyle <=n}$.

Корнейчук Н. П., Никольский С. М., Шевчук И. А.. УМН 34:4 (1979), на стор. 233.

За допомогою а-методу було знайдено та виправлено помилки у таблицях (напр., у таблицях Корн та Корн).

Цей метод дає асимптотично (${\displaystyle 1+An^{-1}}$) найкращу можливу точність наближення, тому працює навіть тоді, коли інші методи не працюють (тобто дають неприпустиму похибку або розбіжні).

Дзядик В. К., Коновалов В. М., Шевчук І. О. у 1991 році за цикл праць "Наближення диференційовних функцій та апроксимаційні методи розв'язання диференціальних та інтегральних рівнянь" стали лауреатами премії НАН України імені М. М. Крилова.[1]

1. Дзядык В. К. Аппроксимационные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений / Ин-т математики АН УССР. — К. : Наукова думка, 1988. — 304 с. (рос.)
2. Dzyadyk V. K. Approximation Methods for Solutions of Differential and Integral Equations. — VSP, Utrecht-Tokyo, 1995. — 325 p.  — ISBN 90-6764-194-4. (англ.)
3. Dzyadyk Yu. V. Some approximation properties of the a- and AI- quadrature polynomials // Функціональні методи у теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі та статистиці. Тези доповідей // Київський Національний університет, Київ, 2001, с. 22–23

• 1979 — Корнейчук Н. П., Никольский С. М., Шевчук И. А. Владислав Кириллович Дзядык (к шестидесятилетию со дня рождения) // Успехи математических наук. — 1979. — 34. — № 4 (208). — C.231-237.
• Биленко В. И., Коновалов В. Н., Луковский И. А., Лучка А. Ю., Пухов Г. Е., Ронто Н. И. Аппроксимационные методы Дзядыка решения дифференциальных и интегральных уравнений // Укр. мат. журн. — 1989. — 41, № 4. — С.454-465.

• Біленко В. І., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б. Кусково-поліноміальні алгоритми аналізу процесів у неоднорідних середовищах. // Кібернетика і системний аналіз, 2018, Т. 54, № 4. - C. 135-141.
• Біленко В. І., Кирилаха Н. Г. Апроксимаційний метод аналізу інтегральних динамічних моделей з керованою пам'яттю Канторовича-Глушкова // Сучасна інформатика: проблеми, досягнення та перспективи розвитку / Тези доповідей Міжнародної наукової конференції, присвяченої 90-річчю від дня народження В. М. Глушкова. Україна, Київ, 12-13 вересня 2013 року // Київ: Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України, 2013. / Стор. 130-132.