Періодичний стан

Нехай дано однорідний ланцюг Маркова з дискретним часом ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0}}$ з матрицею перехідних ймовірностей ${\displaystyle P}$. Зокрема, для будь-якого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, матриця ${\displaystyle P^{n}=\left(p_{ij}^{(n)}\right)}$ є матрицею перехідних ймовірностей ${\displaystyle n}$ кроків. Розглянемо послідовність ${\displaystyle p_{jj}^{(n)},\,n\in \mathbb {N} }$. Число

${\displaystyle d(j)=\gcd \left(n\in \mathbb {N} \mid p_{jj}^{(n)}>0\right)}$,

де ${\displaystyle \gcd }$ позначає найбільший спільний дільник, называється періодом стану ${\displaystyle j}$.

Таким чином, період стану ${\displaystyle j}$ дорівнює ${\displaystyle d(j)}$, якщо з того, що ${\displaystyle p_{jj}^{(n)}>0}$ випливає, що ${\displaystyle n}$ ділиться на ${\displaystyle d(j)}$.

• Якщо ${\displaystyle d(j)>1}$, то стан ${\displaystyle j}$ називається періодичним. Якщо ${\displaystyle d(j)=1}$, то стан ${\displaystyle j}$ називається аперіодичним.

• Періоди сполучених станів збігаються::

${\displaystyle (i\leftrightarrow j)\Rightarrow (d(i)=d(j))}$.

Таким чином, період будь-якого нерозкладного класу ланцюга Маркова визначений і дорівнює періоду будь-якого свого представника. Відповідно, класи поділяються на періодичні та фперіодичні.

• Якщо ланцюг Маркова нерозкладний, то періоди всіх його станів збігаються і загальне значення, яке приймається ними, називається періодом ланцюга. Ланцюг називається періодичним, якщо його період більше одиниці, і аперіодичним в зворотному випадку.