Повна похідна

Повна похідна функції — похідна функції по часу вздовж траєкторії. Нехай функція має вигляд ${\displaystyle f(t,u,v,\dots ,z)}$ і її аргументи залежать від часу: ${\displaystyle u=u(t,x_{1},\dots ,x_{n}),v=v(t,x_{1},\dots ,x_{n}),\dots ,z=z(t,x_{1},\dots ,x_{n})}$. Тоді ${\displaystyle f(t,u,v,\dots ,z)=g(t,x_{1},\dots ,x_{n})}$, де ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ — параметри, що задають траєкторію. Повна похідна функції ${\displaystyle f}$ (у точці ${\displaystyle (t,u,v,\dots ,z)}$) у такому випадку дорівнює частковій похідній ${\displaystyle g}$ по часу (у відповідній точці ${\displaystyle (t,x_{1},\dots ,x_{n})}$) і обчислюється за формулою:

${\displaystyle {df \over dt}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial t}}+\dots +{\frac {\partial f}{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial t}}}$,

де ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial u}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial z}},{\frac {\partial u}{\partial t}},\dots ,{\frac {\partial z}{\partial t}}}$ — часткові похідні. Варто зазначити, що позначення ${\displaystyle {\frac {df}{dt}}}$ є умовним і не стосується операції ділення диференціалів. Окрім цього, повна похідна функції залежить не лише від самої функції, але й від траєкторії.

Наприклад, повна похідна функції ${\displaystyle f(x(t),y(t))}$:

${\displaystyle {df \over dt}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}}$

Тут немає ${\displaystyle {\partial f \over \partial t}}$, оскільки ${\displaystyle f}$ сама («явно») не залежить від ${\displaystyle t}$.

Оператор \ Функція	${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle f(x,y,u(x,y),v(x,y))}$
Диференціал	1: ${\displaystyle \operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x}$	2: ${\displaystyle \operatorname {d} _{x}\!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x}$ 3: ${\displaystyle \operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x+f'_{y}\operatorname {d} \!y+f'_{u}\operatorname {d} \!u+f'_{v}\operatorname {d} \!v}$
Часткова похідна	${\displaystyle f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}}$	${\displaystyle f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} _{x}\!f}{\operatorname {d} \!x}}={\partial f \over \partial x}}$
Повна похідна	${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}f'_{x}}$	${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}f'_{x}+f'_{u}{\frac {\operatorname {d} \!u}{\operatorname {d} \!x}}+f'_{v}{\frac {\operatorname {d} \!v}{\operatorname {d} \!x}};(f'_{y}{\frac {\operatorname {d} \!y}{\operatorname {d} \!x}}=0)}$