Повторна границя

Розглянемо функцію двох змінних ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$, визначену в деякому виколотому околі точки ${\displaystyle \left({{x}_{0}},{{y}_{0}}\right)}$. Виберемо і зафіксуємо змінну ${\displaystyle x}$. Отримаємо функцію як би однієї змінної. Розглянемо границю:

${\displaystyle \varphi \left(x\right)={\underset {y\to {{y}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,f\left(x,y\right)}$

Будемо вважати, що ${\displaystyle \varphi \left(x\right)}$ існує. Тепер знімемо фіксацію зі змінної ${\displaystyle x}$ і розглянемо наступну границю:

${\displaystyle A={\underset {x\to {{x}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,\varphi \left(x\right)}$

Якщо ця границя існує, то говорять, що ${\displaystyle A}$ є повторною границею функції ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ в точці ${\displaystyle \left({{x}_{0}},{{y}_{0}}\right)}$.

${\displaystyle A={\underset {x\to {{x}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,{\underset {y\to {{y}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,f\left(x,y\right)}$

Аналогічно ми можемо фіксувати спочатку змінну ${\displaystyle y}$. У цьому випадку ми також отримаємо повторну границю, але, взагалі кажучи, іншу:

${\displaystyle B={\underset {y\to {{y}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,{\underset {x\to {{x}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,f\left(x,y\right)}$

Це визначення можна розповсюдити і на функції декількох змінних ${\displaystyle f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)}$.

Нехай функція ${\displaystyle f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)}$, визначена в виколотому околі точки ${\displaystyle {{X}^{0}}=\left(x_{1}^{0},\ldots ,x_{d}^{0}\right)}$ і має в цій точці границю (звичайну). Тоді будь-яка повторна границя в точці ${\displaystyle \ {{X}^{0}}}$ існує і дорівнює звичайній границі цієї функції в цій же точці. У зворотний бік твердження, взагалі кажучи, невірне.

• Границя функції в точці

• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — 7-е. — М : Физматлит, 2004. — Т. 1. — 644 с. — ISBN 5-9221-0536-1.(рос.)