Границя функції в точці

Нехай ${\displaystyle A\subset \mathbf {R} ,\quad f:A\to \mathbf {R} }$, ${\displaystyle x_{0}}$ — гранична точка множини A. Число a називається границею функції ${\displaystyle f}$ у точці ${\displaystyle x_{0}}$, якщо

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\quad \forall x\in A\cap B(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}:|f(x)-a|<\varepsilon }$

Позначення:

${\displaystyle a=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)}}$

або

${\displaystyle f(x)\to a}$ при ${\displaystyle x\to x_{0}}$

Число ${\displaystyle A}$ називають границею функції ${\displaystyle f(x)}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$, якщо для довільної послідовності ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$, що збігається до числа ${\displaystyle x_{0}}$, відповідна послідовність значень функції ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ збіжна і має границею одне і теж саме число ${\displaystyle A}$.