Поле напрямків

Зазвичай поле напрямків визначають для такого типу диференціальних рівнянь

${\displaystyle y'=f(x,y).}$

Це можна розглядати як підхід до зображення дійснозначимої функції від двох змінних ${\displaystyle f(x,y)}$ як планарної картинки. Конкретно, для пари ${\displaystyle x,y}$, вектор з компонентами ${\displaystyle [1,f(x,y)]}$ малюють у точці ${\displaystyle x,y}$ в ${\displaystyle x,y}$-площині. Іноді, вектори ${\displaystyle [1,f(x,y)]}$ нормалізуються, щоб креслення виглядало краще. Зазвичай як множину пар ${\displaystyle x,y}$ вибирають прямокутну сітку.

Нехай маємо систему диференціальних рівнянь:

${\displaystyle {\frac {dx_{1}}{dt}}=f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle {\frac {dx_{2}}{dt}}=f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle {\frac {dx_{n}}{dt}}=f_{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

поле напрямків є масивом позначок напрямків у фазовому просторі (кількість вимірів простору залежить від кількості змінних). Кожна позначка напрямку розміщується у точці ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ паралельно вектору

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\\vdots \\f_{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{pmatrix}}}$.

Кількість, розміщення, та довжина позначок напрямку може бути довільною. Розміщуються вони зазвичай у точках ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(a_{1}\Delta x_{1},a_{2}\Delta x_{2},\ldots ,a_{n}\Delta x_{n})}$ для довільних (зазвичай однакових) ${\displaystyle \Delta x_{i}}$, та для цілих ${\displaystyle a_{i}}$, які не виходять за заданий інтервал. Довжина позначок зазвичай теж однакова, і одинична, чи не більша за найменше з ${\displaystyle \Delta x_{i}}$.