Полівектор

Розглянемо дві лінійні комбінації векторів ${\displaystyle \mathbf {a} }$ і ${\displaystyle \mathbf {b} }$:

${\displaystyle (8)\qquad \mathbf {x} =\alpha \mathbf {a} +\beta \mathbf {b} ,\qquad \mathbf {y} =\gamma \mathbf {a} +\delta \mathbf {b} }$

Користуючись спочатку лінійністю зовнішнього добутку щодо кожного із аргументів, а потім антисиметричністю, знаходимо:

${\displaystyle (8)\qquad \mathbf {x} \wedge \mathbf {y} =(\alpha \mathbf {a} +\beta \mathbf {b} )\wedge (\gamma \mathbf {a} +\delta \mathbf {b} )=(\alpha \delta -\beta \gamma )(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )}$

Коефіцієнт в правій частині формули (8) є визначником матриці трансформації:

${\displaystyle (9)\qquad \alpha \delta -\beta \gamma ={\begin{vmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{vmatrix}}}$

Якщо цей визначник дорівнює одиниці (наприклад матриця трансформації є поворотом в площині ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$), то бівектор виражається через нові вектори ${\displaystyle \mathbf {x} }$ і ${\displaystyle \mathbf {y} }$ так само, як і через старі (порівняйте з формулою (3)):

${\displaystyle (10)\qquad {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} }$

Нехай ми маємо вектор ${\displaystyle \mathbf {v} }$ і бівектор ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$. Розглянемо тривектор, утворений зовнішнім добутком цих величин:

${\displaystyle (11)\qquad ({\boldsymbol {\sigma }}\wedge \mathbf {v} )_{ijk}=(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {v} )_{ijk}=}$

${\displaystyle \qquad ={\begin{vmatrix}a_{i}&b_{i}&v_{i}\\a_{j}&b_{j}&v_{j}\\a_{k}&b_{k}&v_{k}\end{vmatrix}}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})v_{k}+(a_{k}b_{i}-a_{i}b_{k})v_{j}+(a_{j}b_{k}-a_{k}b_{j})v_{i}=}$

${\displaystyle \qquad =\sigma _{ij}v_{k}+\sigma _{ki}v_{j}+\sigma _{jk}v_{i}}$

Якщо вектор ${\displaystyle \mathbf {v} }$ буде лінійною комбінацією векторів ${\displaystyle \mathbf {a} }$ і ${\displaystyle \mathbf {b} }$, то визначник у формулі (11) перетвориться в нуль, і для цього випадку маємо:

${\displaystyle (12)\qquad \sigma _{ij}v_{k}+\sigma _{ki}v_{j}+\sigma _{jk}v_{i}=0}$

Оскільки вектори ${\displaystyle \mathbf {a} }$ і ${\displaystyle \mathbf {b} }$ лежать у площині бівектора ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$, то для них справедлива формула (12), тому для будь-яких індексів ${\displaystyle i,j,k,l}$ знаходимо:

${\displaystyle (13)\qquad \sigma _{ij}\sigma _{kl}+\sigma _{ki}\sigma _{jl}+\sigma _{jk}\sigma _{il}=\sigma _{ij}(a_{k}b_{l}-a_{l}b_{k})+\sigma _{ki}(a_{j}b_{l}-a_{l}b_{j})+\sigma _{jk}(a_{i}b_{l}-a_{l}b_{i})=}$

${\displaystyle \qquad =(\sigma _{ij}a_{k}+\sigma _{ki}a_{j}+\sigma _{jk}a_{i})b_{l}-(\sigma _{ij}b_{k}+\sigma _{ki}b_{j}+\sigma _{jk}b_{i})a_{l}=0}$

Отже бівектор виділяється із множини всіх антисиметричних тензорів тим, що компоненти бівектора алгебраїчно залежні:

${\displaystyle (14)\qquad \sigma _{ij}\sigma _{kl}+\sigma _{ki}\sigma _{jl}+\sigma _{jk}\sigma _{il}=0}$

(Примітка: формула (14) має деяку схожість з алгебраїчною тотожністю Біанкі для тензора Рімана, і це не випадково)

Ми бачили, що для бівектора виконується рівність (14). Покажемо що навпаки, якщо для деякого антисиметричного тензора виконується рівність (14) то цей тензор буде бівектором, тобто можна за цим тензором побудувати такі два вектори ${\displaystyle \mathbf {a} }$ і ${\displaystyle \mathbf {b} }$, що виконується рівність (1).

Нехай тензор ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ненульовий, тобто не всі компоненти цього тензора дорівнюють нулю. Нехай для деяких фіксованих індексів ${\displaystyle k,l}$ маємо ${\displaystyle \sigma _{kl}\neq 0}$. Тоді із формули (14) одержуємо для всіх індексів ${\displaystyle i,j}$:

${\displaystyle (15)\qquad \sigma _{ij}={\sigma _{ik}\sigma _{il}-\sigma _{jk}\sigma _{il} \over \sigma _{kl}}}$

В даній системі координат ми можемо наприклад взяти такі два вектора (числа ${\displaystyle k,l}$ фіксовані):

${\displaystyle (16)\qquad a_{i}={\sigma _{ik} \over \sigma _{kl}},\qquad b_{i}=\sigma _{il}}$

Очевидно, що тоді формула (1) виконується.

Антисиметричний тензор другого рангу має ${\displaystyle C_{n}^{2}={n(n-1) \over 2}}$ алгебраїчно незалежних компонент.

Бівектор за формулою (1) виражається через ${\displaystyle 2n}$ чисел ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots a_{n},b_{1},b_{2},\dots b_{n}}$, але оскільки є деяка довільність у виборі векторів ${\displaystyle \mathbf {a} }$ і ${\displaystyle \mathbf {b} }$ (формула 8) і ми можемо в рівності

${\displaystyle (17)\qquad \alpha \delta -\beta \gamma =1}$

три параметри обрати довільно, то бівектор має ${\displaystyle 2n-3}$ алгебраїчно незалежних параметра.

Знайдемо «надлишкову» кількість параметрів, якою антисиметричний тензор відрізняється від бівектора:

${\displaystyle (18)\qquad \Delta N={n(n-1) \over 2}-(2n-3)={(n-2)(n-3) \over 2}}$

З цієї формули ми бачимо, що для дво- і тривимірного простору надлишок дорівнює нулю (тобто кожен антисиметричний тензор є бівектором), для 4-вимірного простору цей надлишок задається одним параметром, для вищих розмірностей цих надлишкових параметрів досить багато.

Якщо розмірність простору менша чотирьох, то у формулі (14) щонайменше два індекси з чотирьох збігаються. Перебором варіантів можна пересвідчитись, що тоді обов'язково один із трьох доданків в (14) дорівнює нулю (бо ${\displaystyle \sigma _{ii}=0}$), а два інші рівні за величиною і протилежні за знаком. Тобто рівність (14) виконується завжди для будь-якого антисиметричного тензора. Формула (16) дає обчислення таких векторів ${\displaystyle \mathbf {a} }$ і ${\displaystyle \mathbf {b} }$, що виконується рівність (1).

Далі в цій статті ми будемо припускати існування евклідової метрики, щоб можна було говорити про величини векторів, бівекторів і про кути між ними. Використовуючи метричний тензор, ми можемо піднімати і опускати індекси тензорів. Розглянемо скаляр, який утворюється множенням бівектора на себе з наступною згорткою за відповідними індексами. У наступних формулах ми будемо користуватися правилом Ейнштейна, що у кожному виразі де зустрічаються однакові індекси, за ними відбувається додавання:

${\displaystyle (19)\qquad \sigma _{ij}\sigma ^{ij}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(a^{i}b^{j}-a^{i}b^{j})=a_{i}b_{j}a^{i}b^{j}-a_{i}b_{j}a^{j}b^{i}-a_{j}b_{i}a^{i}b^{j}+a_{j}b_{i}a^{j}b^{i}=}$

${\displaystyle =2(|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2})=2|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}(1-\cos ^{2}\phi )=2(|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \phi )^{2}}$

У дужках останнього виразу стоїть площа паралелограма, побудованого на векторах ${\displaystyle \mathbf {a} }$ і ${\displaystyle \mathbf {b} }$. Ця площа і називається нормою бівектора.

${\displaystyle (20)\qquad |{\boldsymbol {\sigma }}|={\sqrt {\sum _{i<j}\sigma _{ij}\sigma ^{ij}}}}$

Розглянемо згортку бівектора з довільним вектором ${\displaystyle \mathbf {x} }$:

${\displaystyle (21)\qquad y_{i}=\sigma _{ij}x^{i}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})x^{j}=a_{i}(\mathbf {b} \cdot \mathbf {x} )-b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} )}$

В результаті цієї операції ми маємо вектор ${\displaystyle \mathbf {y} }$, що є лінійною комбінацією векторів ${\displaystyle \mathbf {a} }$ і ${\displaystyle \mathbf {b} }$, тобто лежить в площині ${\displaystyle \sigma }$. Якщо вектор ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ортогональний до площини ${\displaystyle \sigma }$, то в результаті одержимо нуль. Якщо вектор ${\displaystyle \mathbf {x} }$ лежить у площині ${\displaystyle \sigma }$, наприклад ${\displaystyle \mathbf {a} }$, то одержимо ненульовий вектор площини повернутий на ${\displaystyle \pi /2}$, і розтягнутий в ${\displaystyle |{\boldsymbol {\sigma }}|}$ разів:

${\displaystyle (22)\qquad \mathbf {y} =\mathbf {a} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )-\mathbf {b} a^{2},\;(\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} )=0,\;}$

${\displaystyle \qquad y^{2}=(\mathbf {a} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )-\mathbf {b} a^{2})=a^{2}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}-2a^{2}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}+b^{2}(a^{2})^{2}=a^{2}(a^{2}b^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2})=(|\mathbf {a} ||{\boldsymbol {\sigma }}|)^{2}}$

тобто дію бівектора на вектор можна розкласти на три етапи: проекцію вектора на площину, розтягнення, і поворот в площині на кут ${\displaystyle \pi /2}$.

• Кострикин А. П., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия^{[недоступне посилання з червня 2019]}, — Наука, Москва, 1980.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.