Зовнішня алгебра

Зовнішня алгебра векторного простору ${\displaystyle \ V}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$, це асоціативна алгебра над ${\displaystyle \mathbb {K} }$, для якої виконується:

${\displaystyle u\wedge v=-v\wedge u\quad \forall u,v\in V}$

${\displaystyle u\wedge u=0\quad \forall u\in V}$

${\displaystyle u\wedge k=k\wedge u,\quad k\in \mathbb {K} .}$

Зовнішня алгебра позначається як ${\displaystyle \ \bigwedge (V)}$ і не залежить від вибору базиса.

• Для ${\displaystyle r={\overline {0,n}}}$ підпростір ${\displaystyle \ \bigwedge ^{r}(V)}$, з елементів виду ${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge ...\wedge e_{i_{r}}}$, називається ${\displaystyle \ r}$-им зовнішнім ступенем простору ${\displaystyle \ V}$.

• Простір ${\displaystyle \ \bigwedge (V)}$ є прямою сумою підпросторів виду ${\displaystyle \ \bigwedge ^{r}(V)}$:

${\displaystyle \bigwedge (V)=\bigwedge ^{0}(V)\oplus \bigwedge ^{1}(V)\oplus \bigwedge ^{2}(V)\oplus \cdots \oplus \bigwedge ^{n}(V)}$

${\displaystyle \operatorname {dim} \bigwedge ^{r}(V)=C_{n}^{r}}$

.

Якщо є декартова площина ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{2}}$ з ортонормованим базисом: ${\displaystyle \mathbf {e_{1}} =(1,0),\quad \mathbf {e_{2}} =(0,1).}$

Нехай

${\displaystyle \mathbf {v} =a\mathbf {e_{1}} +b\mathbf {e_{2}} ,\quad {\mathbf {w} }=c\mathbf {e_{1}} +d\mathbf {e_{2}} }$

Тоді площа паралелограма основаного на векторах ${\displaystyle \mathbf {v,w} }$:

${\displaystyle A=\left|\det {\begin{bmatrix}{\mathbf {v} }&{\mathbf {w} }\end{bmatrix}}\right|=|v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1}|.}$

${\displaystyle {\mathbf {v} }\wedge {\mathbf {w} }=(v_{1}{\mathbf {e} }_{1}+v_{2}{\mathbf {e} }_{2})\wedge (w_{1}{\mathbf {e} }_{1}+w_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1}){\mathbf {e} }_{1}\wedge {\mathbf {e} }_{2}.}$

Для двох векторів ${\displaystyle \mathbf {a} }$ і ${\displaystyle \mathbf {b} }$ їх зовнішнім добутком називається антисиметричний тензор з двома індексами:

${\displaystyle (1)\qquad (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}={\begin{vmatrix}a_{i}&b_{i}\\a_{j}&b_{j}\end{vmatrix}}}$

Величина (1) називається також бівектором.

Очевидно, що компоненти цього тензора є сукупністю ${\displaystyle 2\times 2}$ мінорів наступної прямокутної ${\displaystyle 2\times n}$ матриці:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\\\cdots &\cdots \\a_{n}&b_{n}\end{bmatrix}}}$

Формулу (1) можна узагальнити на більшу кількість співмножників (результуючий антисиметричний тензор має стільки ж індексів ${\displaystyle m}$, скільки є співмножників):

${\displaystyle (2)\qquad (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \cdots \wedge \mathbf {h} )_{ij\dots p}={\begin{vmatrix}a_{i}&b_{i}&\cdots &h_{i}\\a_{j}&b_{j}&\cdots &h_{j}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{p}&b_{p}&\cdots &h_{p}\end{vmatrix}}}$

Назвемо тензор (2) мультивектором. Компоненти мультивектра є сукупністю ${\displaystyle m\times m}$ мінорів прямокутної ${\displaystyle m\times n}$ матриці:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&\cdots &h_{1}\\a_{2}&b_{2}&\cdots &h_{2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{n}&b_{n}&\cdots &h_{n}\end{bmatrix}}}$

Із властивостей визначників матриць можна зробити такі висновки:

Зовнішній добуток змінює знак на протилежний при перестановці будь-яких двох векторних співмножників:

${\displaystyle (3)\qquad \mathbf {b} \wedge \mathbf {a} \wedge \cdots \wedge \mathbf {h} =-(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \cdots \wedge \mathbf {h} )}$

Зовнішній добуток лінійний окремо за кожним із співмножників:

${\displaystyle (4)\qquad (\alpha \mathbf {a} +\beta \mathbf {x} )\wedge \mathbf {b} \wedge \cdots \wedge \mathbf {h} =\alpha (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \cdots \wedge \mathbf {h} )+\beta (\mathbf {x} \wedge \mathbf {b} \wedge \cdots \wedge \mathbf {h} )}$

Зовнішній добуток дорівнює нулю, якщо його співмножники лінійно залежні:

${\displaystyle \alpha \mathbf {a} +\beta \mathbf {b} +\cdots +\chi \mathbf {h} =0}$

зокрема якщо кількість співмножників більша за розмірність векторного простору ${\displaystyle n}$, або якщо два будь-які співмножники збігаються:

${\displaystyle (5)\qquad \mathbf {a} \wedge \mathbf {a} \wedge \dots =0}$

Розглянемо цю властивість на прикладі тривектора ${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} }$. Із перших двох множників складаємо бівектор:

${\displaystyle (6)\qquad {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }$

тоді компоненти тривектора запишуться так:

${\displaystyle (7)\qquad (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )_{ijk}={\begin{vmatrix}a_{i}&b_{i}&c_{i}\\a_{j}&b_{j}&c_{j}\\a_{k}&b_{k}&c_{k}\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle \qquad =(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})c_{k}+(a_{k}b_{i}-a_{i}b_{k})c_{j}+(a_{j}b_{k}-a_{k}b_{j})c_{i}=\sigma _{ij}c_{k}+\sigma _{ki}c_{j}+\sigma _{jk}c_{i}}$

Отже зовнішній добуток бівектора на вектор визначається формулою:

${\displaystyle (8)\qquad {\boldsymbol {\sigma }}\wedge \mathbf {c} =\mathbf {c} \wedge {\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{ij}c_{k}+\sigma _{ki}c_{j}+\sigma _{jk}c_{i}}$

Більш загально, розклад визначника по першому рядку дає формулу зовнішнього добутку вектора ${\displaystyle a_{i}}$ на мультивектор ${\displaystyle \tau _{i_{1}i_{2}\dots i_{m-1}}}$:

${\displaystyle (9)\qquad (\mathbf {a} \wedge {\boldsymbol {\tau }})_{i_{1}i_{2}\dots i_{m}}=a_{i_{1}}\tau _{i_{2}i_{3}\dots i_{m}}-a_{i_{2}}\tau _{i_{1}i_{3}\dots i_{m}}+a_{i_{3}}\tau _{i_{1}i_{3}\dots i_{m}}-\cdots +(-1)^{m-1}a_{i_{m}}\tau _{i_{1}i_{2}\dots i_{m-1}}}$

У кожному доданку суми у формулі (9) індекси мультивектора ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ є вибіркою ${\displaystyle m-1}$ індекса з набору ${\displaystyle i_{1},i_{2},\dots i_{m}}$ (за винятком того індекса, що стоїть біля вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$).

Якщо число ${\displaystyle m}$ непарне, то внаслідок антисиметрії тензора ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ формулу (9) можна записати ще так:

${\displaystyle (9a)\qquad (\mathbf {a} \wedge {\boldsymbol {\tau }})_{i_{1}i_{2}\dots i_{m}}=a_{[i_{1}}\tau _{i_{2}i_{3}\dots i_{m}]}}$

де квадратними дужками позначено суму по циклічних перестановках індексів ${\displaystyle i_{1},i_{2},\dots i_{m}}$ (порівняйте з формулою (8)).

Також відмітимо зовнішній добуток двох бівекторів (викладки щодо розкриття визначника четвертого порядку пропускаємо):

${\displaystyle (10)\qquad ({\boldsymbol {\sigma }}\wedge {\boldsymbol {\rho }})_{ijkl}=(\sigma _{ij}\rho _{kl}+\sigma _{ki}\rho _{jl}+\sigma _{jk}\rho _{il})+(\rho _{ij}\sigma _{kl}+\rho _{ki}\sigma _{jl}+\rho _{jk}\sigma _{il})}$

Взагалі, якщо ми маємо зовнішній добуток ${\displaystyle k}$ мультивекторів ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{1},{\boldsymbol {\tau }}_{2}\dots {\boldsymbol {\tau }}_{k}}$ рангів ${\displaystyle m_{1},m_{2},\dots m_{k}}$ відповідно, то кількість доданків у формулі, що виражає компоненти зовнішнього добутку через компоненти співмножників, дорівнює:

${\displaystyle (11)\qquad {(m_{1}+m_{2}+\dots +m_{k})! \over {m_{1}!m_{2}!\cdots m_{k}!}}}$

Хай ми маємо наступний мультивектор, складений із векторів ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots \mathbf {x} _{m};\;(m\leq n)}$:

${\displaystyle (12)\qquad {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {x} _{1}\wedge \mathbf {x} _{2}\wedge \dots \wedge \mathbf {x} _{m}}$

Цей мультивектор ненульовий тільки тоді, коли вектори ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ лінійно незалежні, тобто вони визначають ${\displaystyle m}$-вимірний лінійний підпростір. Складемо з цих векторів ${\displaystyle m}$ лінійних комбінацій:

${\displaystyle (13)\qquad \mathbf {y} _{i}=\sum _{j=1}^{m}\alpha _{i}^{j}\mathbf {x} _{j},\qquad i={1,2,\dots m}}$

і утворимо новий мультивектор із їхнього зовнішнього добутку:

${\displaystyle (14)\qquad {\hat {\boldsymbol {\tau }}}=\mathbf {y} _{1}\wedge \mathbf {y} _{2}\wedge \dots \wedge \mathbf {y} _{m}=\sum _{j_{1},j_{2},\dots j_{m}=1}^{m}\alpha _{1}^{j_{1}}\alpha _{1}^{j_{2}}\cdots \alpha _{m}^{j_{m}}(\mathbf {x} _{j_{1}}\wedge \mathbf {x} _{j_{2}}\wedge \dots \wedge \mathbf {x} _{j_{m}})}$

В останній сумі відмінні від нуля лише ті доданки, в яких всі індекси ${\displaystyle j_{1},j_{2},\dots j_{m}}$ різні, тобто є перестановкою чисел ${\displaystyle 1,2,\dots m}$. Більше того, з точністю до знаку всі зовнішні добутки в правій частині формули (14) рівні величині:

${\displaystyle \qquad \mathbf {x} _{1}\wedge \mathbf {x} _{2}\wedge \dots \wedge \mathbf {x} _{m}}$

а знак дорівнює ${\displaystyle +1}$, коли ${\displaystyle j_{1},j_{2},\dots j_{m}}$ є парною перестановкою чисел ${\displaystyle 1,2,\dots m}$, і дорівнює ${\displaystyle -1}$ для непарних перестановок. Тому маємо:

${\displaystyle (15)\qquad {\hat {\boldsymbol {\tau }}}=\mathrm {det} (\alpha )(\mathbf {x} _{1}\wedge \mathbf {x} _{2}\wedge \dots \wedge \mathbf {x} _{m})}$

Як бачимо, новий мультивектор ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}}$ пропорційний мультивектору ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$. Він буде дорівнювати старому мультивектору, якщо:

${\displaystyle (16)\qquad \mathrm {det} (\alpha _{j}^{i})=1}$

Отже компоненти мультивектора ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ не привязані до фіксованого набору векторів, але тільки до орієнтованого ${\displaystyle m}$-вимірного підпростору, що проведений через ці вектори і скаляра - числа яке є нормою або величною мультивектора.

Довільний антисиметричний тензор ${\displaystyle m}$-рангу ${\displaystyle t_{i_{1}i_{2}\dots i_{m}}}$ має таку кількість незалежних компонент:

${\displaystyle (17)\qquad N_{t}=C_{n}^{m}={n! \over m!(n-m)!}}$

Дійсно, для кожної виборки ${\displaystyle m}$ індексів ${\displaystyle i_{1},i_{2},\dots i_{m}}$ із ${\displaystyle n}$ чисел ${\displaystyle 1,2,\dots n}$ ми можемо розмістити ці індекси в порядку зростання ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{m}}$, і приписати довільне значення компоненті тензора ${\displaystyle t_{i_{1}i_{2}\dots i_{m}}}$. Значення компоненти тензора з цими ж індексами, але розміщеними в іншому порядку (переставленими індексами) легко обчислюється виходячи з властивості антисиметрії.

Тепер розглянемо мультивектор ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {x} _{1}\wedge \mathbf {x} _{2}\wedge \dots \wedge \mathbf {x} _{m}}$ рангу ${\displaystyle m}$. Його компоненти обчислюються за формулою (2) через ${\displaystyle mn}$ чисел - координат векторів ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\dots \mathbf {x} _{m}}$. Але оскільки ці вектори задаються неоднозначно, але з точністю до лінійної підстановки (13), то від добутку ${\displaystyle mn}$ треба відняти число ${\displaystyle m^{2}}$ - кількість коефіцієнтів матриці переходу ${\displaystyle \alpha _{i}^{j}}$. І додати число 1, оскільки коефіцієнти матриці переходу зв'язані одним скалярним рівнянням (16). Таким чином, мультивектор ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ залежить від такої кількості параметрів:

${\displaystyle (18)\qquad N_{\tau }=mn-m^{2}+1=m(n-m)+1}$

Відмітимо, що результат формул (17) і (18) не зміниться, якщо замінити ${\displaystyle m}$ на ${\displaystyle n-m}$. Це наслідок існування дуальних об'єктів для антисиметричного тензора і для мультивектора.

Формули (17) і (18) дають однаковий результат для таких чотирьох значень рангу ${\displaystyle m}$: скалярів (${\displaystyle m=0}$), векторів (${\displaystyle m=1}$), псевдовекторів (${\displaystyle m=n-1}$) і псевдоскалярів (${\displaystyle m=n}$). Покажемо, що для всіх інших значень ${\displaystyle 2\leq m\leq n-2}$ (звісно при ${\displaystyle n\geq 4}$) кількість мультивекторів менша за кількість всіх антисиметричних тензорів (тобто існують тензори, що не є орієнтованими площадками). Для доведення скористаємося відомою комбінаторною рівністю:

${\displaystyle (19)\qquad C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k}+C_{n-1}^{k-1}}$

Послідовно застосовуючи її, знаходимо для формули (17):

${\displaystyle (20)\qquad N_{t}=C_{n}^{m}=C_{n-1}^{m}+C_{n-2}^{m-1}+\cdots +C_{n-m}^{1}+C_{n-m-1}^{0}=1+\sum _{k=1}^{m}C_{n-m-1+k}^{k}}$

Позначимо ${\displaystyle p=(n-1)-m>0}$, і знаходимо різницю:

${\displaystyle (21)\qquad \Delta N=N_{t}-N_{\tau }=1+\sum _{k=1}^{m}C_{p+k}^{k}-m(n-m)-1=\sum _{k=1}^{m}\left(C_{p+k}^{k}-(n-m)\right)=\sum _{k=1}^{m}\left(C_{p+k}^{k}-C_{p+1}^{1}\right)}$

Перший доданок у формулі (21) дорівнює нулю (при ${\displaystyle k=1}$), але в цій формулі наявні і інші доданки, оскільки ${\displaystyle m\geq 2}$. Усі ці інші доданки строго додатні, бо із (19) слідує нерівність:

${\displaystyle (22)\qquad C_{p+k}^{k}=C_{p+k-1}^{k}+C_{p+k-1}^{k-1}>C_{p+k-1}^{k-1}>C_{p+k-2}^{k-2}>\dots >C_{p+1}^{1}}$

Нехай ми маємо довільний антисиметричний тензор ${\displaystyle t_{i_{1}i_{2}\dots i_{m}}}$ рангу ${\displaystyle m}$.

Розглянемо сукупність базисних векторів (індекси в дужках вгорі нумерують ці вектори, і не є координатами):

${\displaystyle (23)\qquad \mathbf {e} ^{(1)}=\{1,0,\dots 0\};\;\mathbf {e} ^{(2)}=\{0,1,\dots 0\};\;\dots \;\mathbf {e} ^{(n)}=\{0,0,\dots 1\}}$

або в координатах:

${\displaystyle (23a)\qquad e_{j}^{(i)}=\delta _{j}^{i}\qquad (i,j\in \{1,2,\dots n\})}$

З цих векторів утворимо сукупність мультивекторів рангу ${\displaystyle m}$:

${\displaystyle (24)\qquad \mathbf {E} ^{(i_{1}i_{2}\dots i_{m})}=\mathbf {e} ^{(i_{1})}\wedge \mathbf {e} ^{(i_{2})}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} ^{(i_{m})}}$

Кожен мультивектор (24) має відмінну від нуля тільки одну (з точністю до перестановок індексів) компоненту:

${\displaystyle (25)\qquad (\mathbf {E} ^{(i_{1}i_{2}\dots i_{m})})_{i_{1}i_{2}\dots i_{m}}=1}$

Тому тензор ${\displaystyle \mathbf {t} }$ можна записати у вигляді суми:

${\displaystyle (26)\qquad \mathbf {t} =\sum _{i_{1}<i_{2}<\dots <i_{m}}t_{i_{1}i_{2}\dots i_{m}}\mathbf {E} ^{(i_{1}i_{2}\dots i_{m})}}$

Це представлення, разом із лінійністю зовнішнього добутку, дає змогу поширити зовнішній добуток на довільні антисиметричні тензори. Формули (8 - 10) і їм подібні залишаються справедливими і в випадку, коли ми вважаємо ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }},{\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {\rho }}}$ довільними антисиметричними тензорами.

Нехай у векторному просторі задано метричний тензор ${\displaystyle g_{ij}}$. Ми можемо розглядати довжини векторів і кути між ними, піднімати і опускати індекси тензорів.

Піднесемо до квадрата бівектор ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }$:

${\displaystyle (27)\qquad \sigma _{ij}\sigma ^{ij}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(a^{i}b^{j}-a^{j}b^{i})=2(|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2})=}$

${\displaystyle =2!{\begin{vmatrix}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} )&(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )&(\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} )\end{vmatrix}}}$

Визначник Грамма двох векторів дорівнює квадрату площі ${\displaystyle S=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \phi }$ паралелограма, побудованого на цих векторах. Норма бівектора задається формулою:

${\displaystyle (28)\qquad |\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} |=S={\sqrt {\sum _{i<j}\sigma _{ij}\sigma ^{ij}}}}$

Відмітимо формулу:

${\displaystyle (29)\qquad |\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} |^{2}+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=(|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |)^{2}}$

Тепер піднесемо до квадрата тривектор ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} }$.

${\displaystyle (30)\qquad \tau _{ijk}\tau ^{ijk}=(a_{i}b_{j}c_{k}+a_{j}b_{k}c_{i}+a_{k}b_{i}c_{j}-a_{i}b_{k}c_{j}-a_{j}b_{i}c_{k}-a_{k}b_{j}c_{i})(a^{i}b^{j}c^{k}+a^{j}b^{k}c^{i}+a^{k}b^{i}c^{j}-a^{i}b^{k}c^{j}-a^{j}b^{i}c^{k}-a^{k}b^{j}c^{i})=}$

${\displaystyle \qquad =3!{\begin{vmatrix}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} )&(\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} )&(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\\(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )&(\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} )&(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )&(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )&(\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} )\end{vmatrix}}}$

Визначник Грамма трьох векторів дорівнює квадрату об'єму ${\displaystyle V}$ паралелепіпеда, побудованого на цих векторах. Норма бівектора задається формулою:

${\displaystyle (31)\qquad |\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} |=V={\sqrt {\sum _{i<j<k}\tau _{ijk}\tau ^{ijk}}}}$

Узагальнення формули (30) на мультивектори більшого рангу очевидне. Норма зовнішнього добутку ${\displaystyle m}$ векторів дорівнює ${\displaystyle m}$-мірному об'єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах.

Мультивектор можна уявляти у вигляді орієнтованої ${\displaystyle m}$-мірної площадки довільної форми, "площа" якої дорівнює об'єму паралелепіпеда побудованого на векторах-множниках мультивектора.

Розглянемо спочатку згортку тривектора ${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} }$ з контраваріантним вектором ${\displaystyle v^{p}}$. Результат згортки буде деякий тензор ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ другого рангу:

${\displaystyle (31)\qquad \sigma _{ij}=(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )_{ijk}v^{k}}$

Очевидно, що цей тензор антисиметричний. Доведемо, що він є бівектором, тобто знайдуться такі вектори ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {a} }},{\tilde {\mathbf {b} }}}$ що ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\tilde {\mathbf {a} }}\wedge {\tilde {\mathbf {b} }}}$. Внаслідок лінійності визначника по останньому рядку маємо:

${\displaystyle (32)\qquad \sigma _{ij}={\begin{vmatrix}a_{i}&b_{i}&c_{i}\\a_{j}&b_{j}&c_{j}\\a_{k}&b_{k}&c_{k}\end{vmatrix}}v^{k}={\begin{vmatrix}a_{i}&b_{i}&c_{i}\\a_{j}&b_{j}&c_{j}\\(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} )&(\mathbf {b} \cdot \mathbf {v} )&(\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )\end{vmatrix}}}$

Якщо вектор ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ортогональний до тривектора, тобто до кожного з векторів ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$, то останній рядок в матриці формули (32) буде нульовим, і згортка тривектора з вектором буде дорівнювати нулю.

Тепер нехай вектор ${\displaystyle \mathbf {v} }$ буде не ортогональний до одного з векторів тривектора, наприклад ${\displaystyle (\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )\neq 0}$. Ми можемо у визначнику в правій частині формули (32) відняти від першого і другого рядків третій рядок з таким коефіцієнтом, щоб перетворити число з третьої колонки в нуль:

${\displaystyle (33)\qquad \sigma _{ij}={\begin{vmatrix}a_{i}-{(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} ) \over (\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )}c_{i}&b_{i}-{(\mathbf {b} \cdot \mathbf {v} ) \over (\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )}c_{i}&0\\a_{j}-{(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} ) \over (\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )}c_{j}&b_{j}-{(\mathbf {b} \cdot \mathbf {v} ) \over (\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )}c_{j}&0\\(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} )&(\mathbf {b} \cdot \mathbf {v} )&(\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle \qquad =(\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} ){\begin{vmatrix}a_{i}-{(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} ) \over (\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )}c_{i}&b_{i}-{(\mathbf {b} \cdot \mathbf {v} ) \over (\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )}c_{i}\\a_{j}-{(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} ) \over (\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )}c_{j}&b_{j}-{(\mathbf {b} \cdot \mathbf {v} ) \over (\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )}c_{j}\end{vmatrix}}}$

Ми можемо внести множник всередину визначника, наприклад помноживши на перший стовпчик. Ми можемо взяти такі два вектора:

${\displaystyle (34)\qquad {\tilde {\mathbf {a} }}=(\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {a} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {c} ,\qquad {\tilde {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} -{(\mathbf {b} \cdot \mathbf {v} ) \over (\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )}\mathbf {c} }$

через зовнішній добуток яких виражається наш результат згортки тривектора з вектором:

${\displaystyle (35)\qquad {\boldsymbol {\sigma }}={\tilde {\mathbf {a} }}\wedge {\tilde {\mathbf {b} }}}$

Аналогічні викладки дають, що згортка будь-якого мультивектора з вектором є мультивектором на одиницю меншого рангу.

Позначимо операцію згортки мультивектора з вектором крапкою, такою самою як і в позначенні скалярного добутку векторів:

${\displaystyle (36)\qquad {\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {v} }$

${\displaystyle (36a)\qquad ({\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {v} )_{i_{1}i_{2}\dots i_{m-1}}=\tau _{i_{1}i_{2}\dots i_{m-1}k}v^{k}}$

і назвемо її внутрішнім добутком мультивектора на вектор.

Дослідимо властивості внутрішнього добутку. Якщо вектор ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ортогональний до підпростору, в якому лежить мультивектор ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$, то результатом внутрішнього добутку буде нуль. В іншому разі (неортогональності) результат є мультивектором ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {v} }$, який повністю лежить у підпросторі мультивектора ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ (оскільки кожен з векторів у формулі (34) лежить в ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$). Спробуємо ще раз внутрішньо перемножити результат на той самий вектор ${\displaystyle \mathbf {v} }$:

${\displaystyle (37)\qquad (({\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} )_{i_{1}i_{2}\dots i_{m-2}}=\tau _{i_{1}i_{2}\dots i_{m-2}jk}v^{j}v^{k}=0}$

Ми одержуємо нуль внаслідок антисиметричності мультивектора по індексах ${\displaystyle j,k}$.

Розглянемо згортку бівектора з вектором:

${\displaystyle (38)\qquad a^{j}(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )_{ij}=a^{j}(b_{i}c_{j}-b_{j}c_{i})=b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-c_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$

а також властивість зовнішнього добутку трьох векторів:

${\displaystyle (39)\qquad \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} =\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} \wedge \mathbf {a} =\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }$

Порівняємо з наступними формулами векторного добутку трьохмірних векторів:

${\displaystyle (40)\qquad \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$

${\displaystyle (41)\qquad \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

Ми бачимо, що формули (40) і (41) аналогічні формулам (38) і (39), але якби переставлені. Ця переставленість виникає тому, що векторний добуток є дуальним тензором до бівектора:

${\displaystyle (42)\qquad (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )^{i}=\epsilon ^{ijk}a_{j}b_{k}=\sum _{j<k}\epsilon ^{ijk}(a_{j}b_{k}-a_{k}b_{j})}$

де ${\displaystyle \epsilon ^{ijk}}$ є одиничним антисиметричним тензором тривимірного простору.