Тензор

Тензор рангу (m, n) над векторним простором V є елемент тензорного добутку m просторів V та n спряжених просторів V* (тобто просторів лінійних функціоналів (1-форм) на V)

${\displaystyle {\begin{matrix}\tau \in T_{n}^{m}(V)&=&\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} &\otimes &\underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} \\&&m&&n\end{matrix}}}$

Сума чисел m+n називається валентністю тензора. Тензор рангу (m, n) також називається m разів контраваріантним та n разів коваріантним.

Основною властивістю, і фактично означенням, тензора ${\displaystyle T_{ij\cdots }^{kl\cdots }}$ є закон перетворення його компонент при зміні системи координат:

${\displaystyle (1)\qquad {\hat {T}}_{ij\cdots }^{kl\cdots }=\alpha _{k_{1}}^{k}\alpha _{l_{1}}^{l}\cdots \beta _{i}^{i_{1}}\beta _{j}^{j_{1}}\cdots T_{i_{1}j_{1}\cdots }^{k_{1}l_{1}\cdots }}$

де (взаємно обернені) матриці переходу ${\displaystyle \alpha _{j}^{i},\;\beta _{j}^{i}}$ є частинними похідними функцій, що задають нові координати відносно старих та навпаки:

${\displaystyle (2)\qquad \alpha _{j}^{i}={\partial {\hat {x}}^{i} \over \partial x^{j}},\qquad \beta _{j}^{i}={\partial x^{i} \over \partial {\hat {x}}^{j}}}$

• Тензор рангу (0,0) є скаляр;
• Тензор рангу (1,0) є вектор;
• Тензор рангу (0,1) є ковектор (коваріантний вектор), тобто елемент простору V*;
• Тензор рангу (0,2) є білінійна форма;
• Тензор рангу (1,1) є лінійний оператор.
• Форма об'єму на ${\displaystyle n}$-мірному лінійному просторі є прикладом антисиметричного тензора ранга ${\displaystyle (0,n)}$ (або ${\displaystyle n}$ раз коваріантного)
• Тензор кривини ${\displaystyle R_{\ jkl}^{i}}$ — приклад тензора ранга ${\displaystyle (1,3)}$, його згортки — тензор Річчі ${\displaystyle R_{ij}}$ і скалярна кривина ${\displaystyle R=R_{ij}g^{ij}}$ — приклади тензорів відповідно ранга ${\displaystyle (0,2)}$ і ${\displaystyle (0,0)}$, тобто останній — скаляр.
• Символ Леві-Чивіти — тензор 3-го ранга ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$.

Тензори допускають такі унарні операції:

• Множення на скаляр — виконується покомпонентно;
• Згортка тензора — специфічна тензорна операція, що знижує ранг тензора.

і такі бінарні операції:

• Додавання тензорів однакової валентності та складу індексів — виконується покомпонентно;
• Множення тензорів — добутком тензора рангу (m,n) на тензор рангу (m',n') є тензор рангу (m+m',n+n'), тобто якщо ${\displaystyle \sigma \in T_{n}^{m}}$ і ${\displaystyle \tau \in T_{n'}^{m'}}$, то їх добуток

${\displaystyle \sigma \otimes \tau \in T_{n+n'}^{m+m'}=T_{n}^{m}\otimes T_{n'}^{m'}}$

Про тензор рангу (0, n) зручно думати як про функцію ${\displaystyle \ \alpha (v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})}$ з ${\displaystyle v_{i}\in V}$, яка лінійна по кожному аргументу ${\displaystyle \ v_{i}}$ (такі функції називаються полілінійними), тобто

${\displaystyle \ \alpha (v_{1},\dots ,cv_{i},\dots ,v_{n})=c\cdot \alpha (v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{n}),}$

${\displaystyle \ \alpha (v_{1},\dots ,v_{i}+v_{i}',\dots ,v_{n})=\alpha (v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{n})+\alpha (v_{1},\dots ,v_{i}',\dots ,v_{n}).}$

Також можна думати і про довільний тензор рангу (n, m), але в цьому випадку треба розглядати функцію

${\displaystyle \ \alpha (w^{1},w^{2},\dots ,w^{n},v_{1},v_{2},\dots ,v_{m}),}$

де ${\displaystyle w^{i}\in V^{*},\;\;v_{i}\in V.}$

Компонентами (координатами) тензора в базисі віднесення ${\displaystyle e_{i}\in V,\ i=1...,dim(V)}$ є числа

${\displaystyle {\tau _{j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}}^{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m}}=\tau (e^{j_{1}},e^{j_{2}},\dots ,e^{j_{n}},e_{i_{1}},e_{i_{2}},\dots ,e_{i_{m}})}$

${\displaystyle 1\leq i_{a},\ j_{b}\leq d}$

де ${\displaystyle e^{j}\in V^{*},\ j=1...,d}$ є базис в просторі ${\displaystyle V^{*}\!}$, дуальний базису ${\displaystyle e_{i}\!}$ (тобто ${\displaystyle e^{j}e_{i}=\delta _{i}^{j}}$, де ${\displaystyle \delta _{i}^{j}}$ є символ Кронекера).

Індекси, що відносяться до просторів ${\displaystyle V^{*}\!}$, зображають верхніми індексами і називають контраваріантними, а індекси, що відносяться до просторів ${\displaystyle V\!}$, відповідно зображають знизу і називають коваріантними.

В різного роду застосуваннях часто виникають тензори з певною властивістю симетрії.

Симетричним за двома ко-(контра-)варіантними індексами називається тензор, який задовольняє такій вимозі:

${\displaystyle T({\underline {e^{j_{1}},e^{j_{2}}}},...e^{j_{n}},e_{i_{1}},e_{i_{2}},...,e_{i_{m}})=T({\underline {e^{j_{2}},e^{j_{1}}}},...e^{j_{n}},e_{i_{1}},e_{i_{2}},...,e_{i_{m}})}$

${\displaystyle (T(e^{j_{1}},e^{j_{2}},...e^{j_{n}},{\underline {e_{i_{1}},e_{i_{2}}}},...,e_{i_{m}})=T(e^{j_{1}},e^{j_{2}},...e^{j_{n}},{\underline {e_{i_{2}},e_{i_{1}}}},...,e_{i_{m}}))}$

або в компонентах

${\displaystyle {T_{{\underline {j_{1},j_{2}}},...,j_{n}}}^{i_{1},i_{2}...,i_{m}}={T_{{\underline {j_{2},j_{1}}},...,j_{n}}}^{i_{1},i_{2}...,i_{m}},}$

${\displaystyle \quad \forall j_{1},\ j_{2}=1,2...,(dim(V)=dim(V^{*}))}$

${\displaystyle ({T_{j_{1},j_{2}...,j_{n}}}^{{\underline {i_{1},i_{2}}},...,i_{m}}={T_{j_{1},j_{2}...,j_{n}}}^{{\underline {i_{2},i_{1}}},...,i_{m}},}$

${\displaystyle \quad \forall i_{1},\ i_{2}=1,2...,(dim(V)=dim(V^{*})))}$.

Аналогічно визначається коса симетрія (або антисиметричність):

${\displaystyle T({\underline {e^{j_{1}},e^{j_{2}}}},...e^{j_{n}},e_{i_{1}},e_{i_{2}},...,e_{i_{m}})=-T({\underline {e^{j_{2}},e^{j_{1}}}},...e^{j_{n}},e_{i_{1}},e_{i_{2}},...,e_{i_{m}})}$

${\displaystyle (T(e^{j_{1}},e^{j_{2}},...e^{j_{n}},{\underline {e_{i_{1}},e_{i_{2}}}},...,e_{i_{m}})=-T(e^{j_{1}},e^{j_{2}},...e^{j_{n}},{\underline {e_{i_{2}},e_{i_{1}}}},...,e_{i_{m}}))}$

або в компонентах

${\displaystyle {T_{{\underline {j_{1},j_{2}}},...,j_{n}}}^{i_{1},i_{2}...,i_{m}}=-{T_{{\underline {j_{2},j_{1}}},...,j_{n}}}^{i_{1},i_{2}...,i_{m}},}$

${\displaystyle \quad \forall j_{1},\ j_{2}=1,2...,(\dim(V)=\dim(V^{*}))}$

${\displaystyle ({T_{j_{1},j_{2}...,j_{n}}}^{{\underline {i_{1},i_{2}}},...,i_{m}}=-{T_{j_{1},j_{2}...,j_{n}}}^{{\underline {i_{2},i_{1}}},...,i_{m}},}$

${\displaystyle \quad \forall i_{1},\ i_{2}=1,2...,(\dim(V)=\dim(V^{*})))}$.

Симетрія або антисиметрія не обов'язково повинна охоплювати тільки сусідні індекси, вона може включати й індекси з різних місць тензора. Головною умовою є те, що симетрія або антисиметрія може стосуватися тільки індексів одного сорту: ко- або контраваріантних. Симетрії між ко- і контраваріантними індексами тензорів не мають сенсу, оскільки, навіть якщо вони спостерігаються в компонентах, то руйнуються при переході до іншого базису віднесення.

Ці визначення природним чином узагальнюються на випадок більше ніж двох індексів. При цьому за будь-якої перестановки індексів, за якими тензор є симетричним, його дія не змінюється, а при антисиметрії за індексами знак дії тензора змінюється на протилежний для непарних перестановок (що одержуються з початкового розташування індексів непарним числом транспозицій — перестановок двох індексів) і зберігається для парних.

М. А. Разумова, В. М. Хотяїнцев «Основи векторного і тензорного аналізу: навчальний посібник». – Київ: ВПЦ «Київський університет», 2011.--216с.

• Операції над тензорами