Похідна Лі

Похідна Лі тензорного поля за напрямком векторного поля  — головна лінійна частина приросту тензорного поля при його перетворенні, яке індуковане локальною однопараметричною групою дифеоморфізмів многовиду, що породжена полем .

Зазвичай позначається .

Означення

Аксіоматичне

Похідна Лі повністю означається наступними своїми властивостями. Таке означення найбільш зручне для практичних обчислень, але вимагає доведення існування.

  • Похідна Лі від скалярного поля є похідною за напрямком .
  • Похідна Лі від векторного поля є дужка Лі векторних полів.
  • Для довільних векторних полів 1-форми виконується рівність
  • (правило Лейбніца) Для довільних тензорних полів S і T, виконується

У явному виді, якщо T є тензорним полем типу (p, q) і α1, α2, ..., αq є гладкими кодотичними векторними полями (диференціальними 1-формами), а Y1, Y2, ..., Yp є гладкими векторними полями тоді похідна Лі T по напрямку X є тензорним полем того ж типу, що задається як

Через потік

Нехай  — -вимірний гладкий многовид і  — векторне поле на .

Розглянемо потік за , що визначається співвідношенням: Для кожної точки існує такий окіл і число що потік є визначений і взаємно однозначний для всіх і і також для кожного такого t відображення буде дифеоморфізмом із U. Також якщо то тобто потік задає однопараметричну сім'ю локальних дифеоморфізмів.

Нехай тепер T є тензорним полем типу (p, q) і α1, α2, ..., αq є гладкими кодотичними векторними полями (диференціальними 1-формами), а Y1, Y2, ..., Yp є гладкими векторними полями.

Розглянемо взаємнообернені дифеоморфізми і задані за умов вказаних вище. Якщо то є тензором типу (p, q) на дотичному просторі многовида у точці За допомогою дифеоморфізмів і цей тензор можна «переслати» на дотичний простір у точці m. А саме зворотний тензора щодо відображення тензора типу (p, q) щодо дифеоморфізму (позначається ) називається тензор, що у точці p є рівним:

У цьому виразі нижні індекси у кінці кожної сторін вказують у яких точках розглядаються відповідні тензори, позначає диференціал відображення, а — зворотне відображення диференційних форм при відображенні тобто для довільної диференціальної форми у точці m і вектора Y у точці за означенням

Похідна Лі може бути означена як

Еквівалентність означень

Якщо тензорне поле є скалярним полем, тобто гладкою функцією f, то і що доводить еквівалентність у цьому випадку.

Якщо тензорне поле є векторним полем Y, то і еквівалентність одержується із еквівалентності різних означень дужок Лі у статті дужка Лі векторних полів.

Доведемо також еквівалентність у випадку коваріантних тензорів (зокрема диференціальних форм). Для цього спершу зауважимо, що за означенням для будь-якого дифеоморфізма для будь якого p-коваріантного тензора і векторних полів зворотне відображення коваріантного тензора задовольняє рівності

Звідси:

Другий доданок у попередньому виразі за означення є рівним у точці m.

Перший доданок можна записати як:

Остання рівність одержується із того, що Тоді, зважаючи на те, що всі векторні поля , диференціали і тензори неперервно залежать від t, то границі і при є рівними а границя є рівною

Окрім того

де остання рівність випливає із вказаної вище властивості для дужки Лі. Оскільки є одиничним перетворенням, а є неперервною по сукупності усіх аргументів, то остаточно

Разом одержується вираз для похідної Лі.

Зокрема для 1-форми звідси відразу випливає, що

Для загального тензора доведення аналогічне лише застосовується більш загальна рівність

Після цього як і вище розписується сума і використовуються вказані вище властивості для векторів і 1-форм. В порівнянні із попереднім частковим випадком єдиною принциповою відмінністю є те, що потрібно знайти границю Із доведеного вище, а також властивостей одержується, що В іншому доведення аналогічне до попереднього.

Вираз у координатах

, де  — скаляр.

, де  — вектор, а  — його компоненти.

, де  — 1-форма, а  — її компоненти.

, де  — 2-форма (метрика), а  — її компоненти.

Похідна Лі для тензорного поля у неголономному репері

Нехай тензорне поле К типу (p, q) задано в неголономному репері , тоді його похідна Лі вздовж векторного поля Х задається наступною формулою:

,

де , і введені наступні позначення:

,

 — об’єкт неголономності.

Властивості

  • -лінійно за і за . Тут  — довільне тензорне поле.
  • Похідна Лі — диференціювання на кільці тензорних полів.
  • На супералгебрі зовнішніх форм похідна Лі є диференціюванням і однорідним оператором ступеня 0.
  • Нехай і  — векторні поля на многовиді, тоді
є диференціюванням алгебри , тому існує векторне поле , що називається дужкою Лі векторних полів (також дужка Пуассона або комутатор), для якого
  • Формула гомотопії. . Тут  — оператор внутрішнього диференціювання форм. ()
  • Як наслідок,
  • . Тут  — гладкий перетин (природного) векторного розшарування (наприклад, будь-яке тензорне поле),  — підняття векторного поля на ,  — оператор вертикального проектування на .

Див. також

Література

  • Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. — 1981. — Т. 1. — 344 с.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е, перераб. — М. : Наука, 1986. — Т. 1. — 760 с.
  • Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák. Natural operations in differential geometry. — 1-е изд. — Springer, 1993. — 434 с. — ISBN 978-3540562351.
  • Morita, Shigeyuki (2001). Geometry of Differential Forms. Translations of mathematical monographs 201. AMS. ISBN 0-8218-1045-6.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.