Тензорне поле

Використовуючи основне поняття диференціальної геометрії — структура на многовиді, — можна дати наступне визначення:

Нехай ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle V^{*}=\mathrm {Hom} \,(V,\;\mathbb {R} )}$ і ${\displaystyle V_{q}^{p}=(({\overset {p}{\otimes }}V))\otimes (({\overset {q}{\otimes }}V^{*}))}$ — простір тензорів типу ${\displaystyle (p,\;q)}$ з природним тензорним представленням групи ${\displaystyle GL^{1}(n)=GL(n)}$, тоді структура типу ${\displaystyle V_{q}^{p}}$ є лінійною структурою першу порядку і називається тензорним полем (або тензорною структурою) типу ${\displaystyle (p,\;q)}$.

При визначенні тензорного поля можна відштовхуватися від поняття тензорного розшарування.

Тензорне поле — це перетин тензорного розшарування ${\displaystyle T^{p,\;q}(M)}$ на диференційовному многовиді ${\displaystyle M}$, ізоморфного в загальному випадку тензорному добутку дотичних та кодотичних розшарувань

${\displaystyle T^{p,\;q}(M)\cong {\overset {p}{\otimes }}T(M)\otimes {\overset {q}{\otimes }}T(M)^{*}.}$

Менш формально тензорне поле можна розглядати як відображення, яке кожній точці розглянутого многовиду ${\displaystyle M}$ ставить у відповідність тензор постійної валентності.

Поняття тензорного поля природним чином виникає в механіці та фізиці суцільних середовищ при описі анізотропних середовищ. Поняття тензорного поля знаходить застосування у всіх прикладних науках, де такі середовища розглядаються і вивчаються. Воно входить у математичний апарат загальної та спеціальної теорії відносності.

Простіше за все розуміти таке розширення виходячи з нестрогого визначення, згідно з яким тензорне поле — це відображення, яке ставить у відповідність кожній точці ${\displaystyle \displaystyle x}$ многовиду ${\displaystyle \displaystyle M}$ деякий тензор фіксованої валентності ${\displaystyle \displaystyle (p,q)}$, віднесений до цієї точки ${\displaystyle \displaystyle x}$. Нехай тепер ${\displaystyle \displaystyle {\tilde {M}}}$ — деякий інший многовид, який є лінійним розшаруванням над ${\displaystyle \displaystyle M}$, і нехай ${\displaystyle \displaystyle \pi$ :{\tilde {M}}\to M}  — канонічна проекція для такого многовиду. Тоді розширене тензорне поле — це відображення, яке ставить у відповідність кожній точці ${\displaystyle \displaystyle y}$ у многовиді ${\displaystyle \displaystyle {\tilde {M}}}$ деякий тензор фіксованого валентності ${\displaystyle \displaystyle (p,q)}$ на ${\displaystyle \displaystyle {\tilde {M}}}$ віднесений до точки ${\displaystyle \displaystyle x=\pi (y)}$.