Дужка Лі векторних полів

В диференціальній геометрії дужками Лі векторних полів або комутатором векторних полів називається оператор, що для двох векторних полів X і Y на гладкому многовиді M, визначає третє векторне поле, що позначається як [X, Y].

Векторне поле [X,Y] можна визначити як похідну поля Y в напрямку потоку визначеного полем X. Узагальненням дужки Лі є похідна Лі, яка є диференціюванням тензорного поля в напрямку потоку векторного поля X.

Дужки Лі є білінійним оператором і простір векторних полів на многовиді разом з цією операцією є нескінченновимірною алгеброю Лі.

Дужки Лі відіграють значну роль в диференціальній геометрії і диференціальній топології.

Визначення

Дужки Лі векторних полів можна визначити кількома еквівалентними способами:

Векторні поля як диференціювання

Векторне поле X на гладкому многовиді M можна визначити як оператор диференціювання на множині гладких функцій визначених на M (деталі у статтях дотичний простір і дотичний вектор). Окрім цього кожен оператор диференціювання задається через однозначно визначене векторне поле. Для гладких векторного поля X і функції f значення X(f) теж є гладкою функцією і тому для векторного поля Y має зміст вираз Y(X(f)). Дужка Лі, [X,Y], для векторних полів X і Y визначається як

[X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f)),\;\;\forall f\in C^{\infty }(M).

Визначений так оператор [X,Y] є диференціюванням. Адитивність є очевидною, а правило добутку отримується з рівностей:

{\begin{aligned}[][X,Y](fg)=&X(Y(fg))-Y(X(fg))=X(fY(g))+X(gY(f))-Y(fX(g))-Y(gX(f))=\\&fX(Y(g))+X(f)Y(g)+X(g)Y(f)+gX(Y(f))-fY(X(g))-Y(f)X(g)-Y(g)X(f)-gY(X(f))=\\&f[X,Y](g)+g[X,Y](f).\end{aligned}}

Відповідно [X,Y] є гладким векторним полем.

Потоки і границі

Нехай $\Phi _{t}^{X}$ потік для векторного поля X, а d позначатиме диференціал відображення. Тоді дужка Лі векторних полів X і Y в точці p∈M може бути визначена як

[X,Y]_{p}:=\lim _{t\to 0}{\frac {Y_{p}-(\mathrm {d} \Phi _{t}^{X})Y_{\Phi _{-t}^{X}(p)}}{t}}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\mathrm {d} \Phi _{t}^{X})Y_{\Phi _{-t}^{X}(p)}

або еквівалентно:

[X,Y]_{p}:=\left.{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {dt} ^{2}}}\right|_{t=0}(\Phi _{-t}^{Y}\circ \Phi _{-t}^{X}\circ \Phi _{t}^{Y}\circ \Phi _{t}^{X})(p)=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\Phi _{-{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{-{\sqrt {t}}}^{X}\circ \Phi _{\sqrt {t}}^{Y}\circ \Phi _{\sqrt {t}}^{X})(p)

Для доведення еквівалентності двох означень, спершу слід зауважити, що якщо

f(t,p)

є функцією на

I_{\varepsilon }\times M

, де

I_{\varepsilon }

є відкритий інтервал

(-\varepsilon ,\varepsilon )

і

f(0,p)=0

для всіх

p\in M

, то функція

g(t,p)=\int _{0}^{1}f'(ts,p)ds

задовольняє властивості

f(t,p)=t\cdot g(t,p)

і

g(0,p)=f'(0,p),

де використані позначення

f'=df/dt

, для

p\in M

.

Звідси випливає, що якщо

\Phi _{t}^{X}

є потоком векторного поля X то для будь-якої функції f на М існує функція

g_{t}(p)=g(t,p)

така, що

f\circ \Phi _{t}^{X}=f+tg_{t}

і

g_{0}=Xf

. Ця функція визначається для кожного фіксованого

p\in M

для

|t|<\varepsilon

для деякого

\varepsilon

. Дійсно, якщо ввести функцію

F(t,p)=f(\Phi _{t}^{X}(p))-f(p)

то

f(0,p)=0

для всіх

p\in M

і з попереднього існує функція

g_{t}(p)=g(t,p)

для якої

f\circ \Phi _{t}^{X}=f+tg_{t}

і

Xf(p)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\Phi _{t}^{X}(p))-f(p)}{t}}=\lim _{t\to 0}{\frac {F(t,p)}{t}}=\lim _{t\to 0}g_{t}(p)=g_{0}(p).

Позначимо тепер

p(t)=\Phi _{-t}^{X}(p)

. Тоді

((\mathrm {d} \Phi _{t}^{X})Y)_{p}f=Y(f\circ \Phi _{t}^{X})_{p(t)}=Y_{p(t)}f+tY_{p(t)}g_{t}

і звідси

\lim _{t\to 0}{\frac {Y_{p}-(\mathrm {d} \Phi _{t}^{X})Y_{p(t)}}{t}}f=\lim _{t\to 0}{\frac {Y_{p}f-Y_{p(t)}f}{t}}-\lim _{t\to 0}(Y_{p(t)}g_{t})=X_{p}(Yf)-Y_{p}g_{0}=[X,Y]_{p}f.

що і доводить наше твердження.

Визначення в локальних координатах

Вибравши локальну координатну систему на многовиді M з координатними функціями $\{x_{i}\}$ і позначивши $\partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$ асоційований локальний базис дотичного розшарування, локально векторні поля можна записати як

X=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\partial _{i}

Y=\sum _{i=1}^{n}Y_{i}\partial _{i}

де $X_{i}:M\to \mathbb {R}$ and $Y_{i}:M\to \mathbb {R}$ — деякі гладкі функції. Тоді дужки Лі в цих координатах визначаються як

[X,Y]:=\sum _{i=1}^{n}\left(X(Y^{i})-Y(X^{i})\right)\partial _{i}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}

Сама форма запису показує, що [X,Y] є векторним полем.

Якщо M є евклідовим простором Rⁿ або його відкритою підмножиною то векторні поля X і Y можна записати як гладкі відображення $X:M\to \mathbb {R} ^{n}$ і $Y:M\to \mathbb {R} ^{n}$ , а дужка Лі $[X,Y]:M\to \mathbb {R} ^{n}$ може бути визначена як

[X,Y]:=J_{Y}X-J_{X}Y

де $J_{Y}$ і $J_{X}$ — матриці Якобі відображень $Y$ і $X$ відповідно.

Властивості

Разом з операцією дужок Лі векторний простій $V=\Gamma (TM)$ всіх гладких векторних полів на M (тобто гладких перерізів дотичного розшарування $TM$ многовида $M$ ) є алгеброю Лі, тобто [·,·] є відображенням $V\times V\to V$ з такими властивостями:

$[\cdot ,\cdot ]$ is R-білінійним відображенням, тобто $[X+Y,Z]=[X,Z]+[Y,Z],\;[X,Y+Z]=[X,Y]+[X,Z]$ для всіх векторних полів X,Y, Z;
$[X,Y]=-[Y,X]\,$ і, еквівалентно, $[X,X]=0$ для всіх векторних полів $X$ ;
$[X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0.\,$ Ця властивість називається тотожністю Якобі;
Для гладкої функції f визначеної на M дужка Лі векторних полів X і fY задовольняє рівність

[X,fY]=X(f)Y+f[X,Y]

$[X,Y]=0\,$ тоді й лише тоді коли X і Y локально комутують, тобто для всіх x∈M і достатньо малих дійсних чисел s, t виконується рівність $(\Phi _{t}^{Y}\Phi _{s}^{X})(x)=(\Phi _{s}^{X}\,\Phi _{t}^{Y})(x)$ .
Нехай тепер M, N — гладкі многовиди, F — гладке відображення між ними, dF — диференціал цього відображення, а X і Y — векторні поля на M. Тоді виконується рівність:

\operatorname {d} F([X,Y])=[\operatorname {d} F(X),\operatorname {d} F(Y)]\,

Для точки

p\in M

диференціал dF є відображенням з дотичного простору

T_{p}(M)

в дотичний простір

T_{F(p)}(N),

таким що для функції

g\in C^{\infty }(N)

за визначенням

\operatorname {d} F(X)(g)(F(p))=X(g\circ F)(p)

і тому

\operatorname {d} F(X)(g)\circ F=X(g\circ F)

Тож для довільних гладких векторних полів

X,Y

і всіх функцій

g\in C^{\infty }(N)

{\begin{aligned}&\operatorname {d} F[X,Y]_{F(p)}(g)=[X,Y]_{p}(g\circ F)\\&=X_{p}(Y(g\circ F))-Y_{p}(X(g\circ F))\\&=X_{p}(\operatorname {d} F(Y)(g)\circ F)-Y_{p}(\operatorname {d} F(X)(g)\circ F)\\&=\operatorname {d} F(X)_{F(p)}(\operatorname {d} F(Y)(g))-\operatorname {d} F(Y)_{F(p)}(\operatorname {d} F(X)(g))\\&=[\operatorname {d} F(X),\operatorname {d} F(Y)]_{F(p)}(g)\end{aligned}}

Звідси і отримується необхідна рівність.

Див. також

Джерела

Голод П. І., Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрії. — К. : Наукова думка, 1992. — 368 с. (укр.)
Hazewinkel, Michiel, ред. (2001). Lie bracket. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
Hicks, Noel (1965). Notes on Differential Geometry. Van Nostrand, Princeton, N. J. ISBN 0442034105. (англ.)
Kolar, I., Michor, P., and Slovak, J. (1993). Natural operations in differential geometry. Springer-Verlag.
Lang, S. (1995). Differential and Riemannian manifolds. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94338-1.
Warner, Frank (1983) [1971]. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. New York-Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90894-3.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.