Правильний сімнадцятикутник

Правильний сімнадцятикутник геометрична фігура, що належить до групи правильних многокутників. Має сімнадцять сторін і сімнадцять кутів. Усі кути і сторони правильного сімнадцятикутника рівні між собою, всі вершини лежать на одному колі.

Правильний сімнадцятикутник

Властивості

Центральний кут α дорівнює .

Відношення довжини сторони до радіусу описаного кола складає

.

Правильний сімнадцятикутник можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки, що було доведено Карлом Фрідріхом Гаусом 1796 року. Ним же знайдено значення косинуса центрального кута сімнадцятикутника:

.

Факти

  • Гаус був настільки піднесений своїм відкриттям, що в кінці життя заповів, щоб правильний сімнадцятикутник викарбували на його могилі. Скульптор відмовився це зробити, стверджуючи, що побудова буде настільки складною, що результат не можна буде відрізнити від кола[1].
  • 1825 року Йоханес Ерхінгер уперше опублікував детальний опис побудови правильного сімнадцятикутника за 64 кроки. Нижче наводиться ця побудова.

Побудова

Точна побудова

  1. Проводимо велике коло k₁ (майбутнє описане коло сімнадцятикутника) з центром O.
  2. Проводимо його діаметр AB.
  3. Будуємо до нього перпендикуляр m, перетинаючий k₁ у точках C та D.
  4. Відмічаємо точку E — середину DO.
  5. Посередині EO відмічаємо точку F та проводимо відрізок FA.
  6. Будуємо бісектрису w₁ кута ∠OFA.
  7. Будуємо w₂ — бісектрису кута між m та w₁, яка перетинає AB у точці G.
  8. Проводимио s — перпендикуляр до w₂ з точки F.
  9. Будуємо w₃ — бісектрису кута між s та w₂. Вона перетинає AB у точці H.
  10. Будуємо коло Фалеса (k₂) на діаметрі HA. Воно перетинається з CD у точках J та K.
  11. Проводимо коло k₃ з центром G через точки J та K. Воно перетинається з AB у точках L та N. Тут важливо не переплутати N з M, вони розташовані дуже близько.
  12. Будуємо дотичну до k₃ через N.

Точки перетину цієї дотичної до вихідного кола k₁ — це точки P₃ та P₁₄ шуканого сімнадцятикутника. Якщо прийняти середину отриманої дуги за P₀ та відкласти дугу P₀P₁₄ по колу тричі, усі вершини сімнадцятикутника будуть побудовані.

Приблизна побудова

Наступна побудова хоч і наближена, але набагато зручніша.

  1. Ставимо на площині точку M, будуємо навколо неї коло k та проводимо її діаметр AB;
  2. Ділимо навпіл радіус AM тричі по черзі в напрямку до центру (точки C, D та E).
  3. Ділимо навпіл відрізок EB (точка F).
  4. Будуємо перпендикуляр до AB у точці F.
  • Коротко: будуємо перпендикуляр до діаметра на відстані 9/16 діаметра від B.

Точки перетину останнього перпендикуляра перпендикуляра з колом ї гарним наближенням для точок P₃ та P₁₄.

При цій побудові виходить відносна похибка у 0,83 %. Кути та сторони виходять таким чином трохи більші, ніж потрібно. При радіусі 332,4 мм сторона виходить довшою на 1 мм.

Анімована побудова Ерхінгера

Побудова сімнадцятикутника циркулем і лінійкою за 64 кроки

Примітки

Посилання

  • Karin Reich: Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825). В кн.: Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm. Hrsg. von Rüdiger Thiele, Berlin, Diepholz 2000, стр. 101–118.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.