Принцип максимуму Понтрягіна

Принцип максимуму Понтрягіна — необхідна умова оптимальності в задачах теорії оптимального управління.

Нехай рух об'єкта описується системою диференціальних рівнянь

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x,u)}$,

де х = (х1, …, хn) — векторна функція часу, яка описує траєкторію об'єкта,
u = (u1, …,um) — керування, яке вибирається в довільний момент часу і із заданої області U,
f (х, u) = (f1(x, u),..., fn(х, u)) — векторна функція х і u.
Розглядається задача вибору керування u = u (t) на відрізку [t0, t1] за умови мінімізації функціоналу

${\displaystyle I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}f_{0}[x(t),u(t)]\,dt}$.

а також при фіксованих положеннях об'єкта в моменти t0 і t1.
Нехай u0 (t) — оптимальне керування, що розв'язує поставлену задачу, а х0(t) — відповідна траєкторія.
Тоді Принцип максимуму Понтрягіна стверджує, що за досить загальних умов необхідною умовою оптимальності керування u (t) є існування неперервних функцій φ0, φ1, …, φn(t), які на відрізку [t0, t1] задовольняють систему диференціальних рівнянь

${\displaystyle {\frac {d\varphi _{i}(t)}{dt}}=-\sum _{j=0}^{n}{\frac {\partial f_{j}(x_{0},u_{0})}{\partial x_{j}}}\,\varphi _{j}(t);{\frac {d\varphi _{0}(t)}{dt}}=0}$

і таких, що лінійна форма

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\varphi _{i}(t)f_{i}[x(t),u(t)]}$

при будь-яких t з відрізка [t0, t1] досягає максимуму по u при u = u0 (t).
Принцип максимуму Понтрягіна служить відправною точкою розв'язування багатьох теоретичних задач оптимального управління і розробки відповідних обчислювальних методів.