Прогин (техніка)

Для аналітичного визначення прогину балки в довільному перерізі потрібно мати рівняння пружної лінії

${\displaystyle w=f(x)}$.

Ступінь викривлення осі у межах пружності матеріалу балки залежить від величини згинального моменту і жорсткості бруса. Кривина осі визначається виразом:

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {M_{z}}{EI_{z}}},}$

де ρ — радіус кривини осі зігнутого бруса у розглянутому перерізі;

Е — модуль Юнга матеріалу бруса;

I_z — осьовий момент інерції перерізу бруса відносно нейтральної лінії.

Для випадку малих деформацій кривина наближено виражається другою похідною від прогину ${\displaystyle w(x)}$, а тому між координатами зігнутої осі та згинальним моментом існує диференціальна залежність:

${\displaystyle {\frac {d^{2}w(x)}{dx^{2}}}={\frac {M_{z}}{EI_{z}}},}$

що називається диференціальним рівнянням осі зігнутого бруса. Його рішення називається рівнянням пружної лінії балки (бруса).

Інтегруючи рівняння, одержимо вираз, що описує прогин балки:

${\displaystyle w(x)=\int dx\int {\frac {M_{z}(x)}{EI_{z}(x)}}dx+Cx+D.}$

Сталі C і D визначаються з умов закріплення балки.

Найбільший прогин балки ${\displaystyle w(x)_{max}}$ називається стрілою прогину — f.

Балка на двох опорах навантажена зосередженим зусиллям посередині

Рівняння пружної лінії:

${\displaystyle w(x)={\begin{cases}-{\frac {Px(4x^{2}-3L^{2})}{48EI}},&{\mbox{for }}0\leq x\leq {\tfrac {L}{2}}\\{\frac {P(x-L)(L^{2}-8Lx+4x^{2})}{48EI}},&{\mbox{for }}{\tfrac {L}{2}}<x\leq L\end{cases}}.}$

Стріла прогину:

${\displaystyle f=w_{L/2}={\tfrac {PL^{3}}{48EI}}.}$

Консольна балка, навантажена зосередженим зусиллям на вільному кінці

Рівняння пружної лінії:

${\displaystyle w(x)={\tfrac {Px^{2}(3L-x)}{6EI}}.}$

Стріла прогину:

${\displaystyle f=w_{C}={\tfrac {PL^{3}}{3EI}}.}$

Консольна балка, навантажена рівномірно розподіленим зусиллям

Рівняння пружної лінії:

${\displaystyle w(x)={\tfrac {qx^{2}(6L^{2}-4Lx+x^{2})}{24EI}}.}$

Стріла прогину

${\displaystyle f=w_{C}={\tfrac {qL^{4}}{8EI}}.}$

• Пружна лінія
• Деформація згину
• Балка на двох опорах

• Опір матеріалів. Підручник /Г. С. Писаренко, О. Л. Квітка, Е. С. Уманський. За ред. Г. С. Писаренка — К.: Вища школа,1993. — 655 с. ISBN 5-11-004083-4
• Шваб'юк В. І. Опір матеріалів: навч. посіб. для студентів ВНЗ / В. І. Шваб'юк. — К.: НТУ «КПІ», 2009. — 380 с.

• Прогин // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 161. — ISBN 978-966-7407-83-4.