Деформація згину

Наближений розрахунок прямого бруса на дію згину у пружній стадії на основі класичної теорії (теорії Ейлера-Бернуллі) проводиться виходячи з наступних допущень:

• поперечні перерізи, що були плоскими і перпендикулярними до осі балки до деформації, залишаються плоскими і перпендикулярними до її зігнутої осі (пружної лінії) після деформування (гіпотеза плоских перерізів);
• поздовжні волокна бруса при згині не тиснуть одне на одного і не намагаються відірватись одне від одного;
• переміщення і деформації вважаються малими а балка — нерозтяжною;
• розміри перерізів балки вважаються малими у порівняння з радіусом кривини осі балки;
• матеріал балки розглядається як лінійно пружний, що описується законом Гука

При плоскому згині в будь-якій точці поперечного перерізу балки виникають нормальні (σ) і дотичні (τ) напруження. Нормальні напруження визначають за формулою Нав’є:

${\displaystyle \sigma =E\varepsilon =E{\frac {y}{\rho }}={\frac {M_{z}y}{I_{z}}},}$

де: M_z — згинальний момент;

y — координата досліджуваної точки відносно нейтральної лінії;

I_z — момент інерції відносно нейтральної лінії.

Дотичні напруження визначають за формулою Д. І. Журавського:

${\displaystyle \tau ={\frac {Q_{y}S_{z}}{bI_{z}}},}$

де Q_y — поперечна сила у перерізі;

S_z — статичний момент відносно нейтральної осі частини площі поперечного перерізу, що розташована вище (або нижче) волокна, що розглядається;

_b — ширина перерізу на рівні волокна, що розглядається.

Характер зміни згинальних моментів і поперечних сил по довжині бруса зазвичай зображується графіками (епюрами), за якими визначаються їх розрахункові значення.

Ступінь викривлення осі у межах пружності залежить від величини згинального моменту і жорсткості бруса. Кривина осі визначається виразом:

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {M_{z}}{EI_{z}}},}$

де ρ — радіус кривини осі зігнутого бруса у розглянутому перерізі; Е — модуль Юнга матеріалу бруса а I_z — момент інерції. Добуток EI_z називають жорсткістю балки на згин[1];

Для випадку малих деформацій кривина наближено виражається другою похідною від прогину ${\displaystyle w(x)}$, а тому між координатами зігнутої осі та згинальним моментом існує диференціальна залежність:

${\displaystyle {\frac {d^{2}w(x)}{dx^{2}}}={\frac {M_{z}}{EI_{z}}},}$

що називається диференціальним рівнянням осі зігнутого бруса. Його рішення називається рівнянням пружної лінії балки (бруса).

Відносна деформація при згині визначається як: ε${\displaystyle ={\frac {y}{\rho }}}$, ε${\displaystyle _{max}={\frac {h/2}{\rho }}}$, де h - висота балки.

У практичних дослідах на згин для визначення відносної деформації ε вимірюють прогини зразків. Взаємозв’язок між прогином f , що вимірюється між внутрішніми роликами, розташованими на відстані l₀, за чотириточковим (круговим) згином та радіусом кривизни ρ наступний:

${\displaystyle \rho ={\frac {l_{0}^{2}}{8f}}}$. Тоді ε${\displaystyle _{4t}=f{\frac {4h}{l_{0}^{2}}}}$. Для триточкового згину ця формула буде натупною: ε${\displaystyle _{3t}=f{\frac {6h}{l_{0}^{2}}}}$.

Дана теорія базується на тих же гіпотезах, що й класична, однак гіпотеза плоских перерізів має модифікований вид: приймається, що перерізи, які були до деформації плоскими і нормальними до осі балки, залишаються плоскими, але перестають бути нормальними до зігнутої осі. Таким чином, дана теорія враховує деформацію зсуву й дотичні напруження. Врахування дотичних напружень є важливим для композитів та матеріалів, що мають шарувату структуру (деревина), оскільки руйнування може відбуватись по лінії розмежування шарів від зсуву.

Основні залежності:

${\displaystyle M_{z}=EI_{z}{\frac {\,d\theta (x)}{\,dx}}}$

${\displaystyle Q_{y}={\frac {GF}{\alpha }}\left(\theta (x)-{\frac {\,dw(x)}{\,dx}}\right)}$

де ${\displaystyle G}$ — модуль зсуву матеріалу балки, ${\displaystyle F}$ — площа перерізу, ${\displaystyle \alpha }$ — коефіцієнт, що враховує нерівномірність розподілу дотичних напружень по перерізу і залежить від його форми. Величина

${\displaystyle \gamma =\theta (x)-{\frac {\,dw(x)}{\,dx}}}$

є кутом зсуву.