Прямокутний трикутник
Прямокутний трикутник — трикутник, один із кутів якого прямий. Прямокутний трикутник займає особливе місце в планіметрії, оскільки для нього існують прості співвідношення між сторонами і кутами.
Сторони прямокутного трикутника мають власні назви. Дві сторони, що утворюють прямий кут називаються катетами, а третя сторона — гіпотенузою. Традиційно катети позначаються літерами a та b, а гіпотенуза — літерою c. За теоремою Піфагора можна знайти будь-яку сторону прямокутного трикутника, якщо відомі дві інші сторони. За теоремою Піфагора квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
Звідси можна знайти інші сторони прямокутного трикутника.
Катети є водночас висотами прямокутного трикутника. Тому площа прямокутного трикутника дорівнює:
- .
Властивості прямокутних трикутників
- Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.
- Якщо у прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 30°, то протилежний цьому куту катет буде дорівнювати половині гіпотенузи.
- Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°.
- Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, ділить його на два рівнобедрених трикутники, оскільки медіана дорівнює половині гіпотенузи.
- Якщо описати коло навколо прямокутного трикутника, то гіпотенуза буде діаметром кола.
Ознаки рівності прямокутних трикутників
У прямокутного трикутника є такі ознаки рівності:
- За двома катетами.
Якщо катети одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катетам другого, то такі трикутники рівні.
- За катетом і прилеглим гострим кутом.
Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету й прилеглому до нього гострому куту другого, то такі трикутники рівні.
- За катетом і протилежним гострим кутом.
Якщо катет і протилежний йому гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету й протилежно йому гострому куту другого, то такі трикутники рівні.
- За гіпотенузою і катетом.
Якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й катету другого, то такі трикутники рівні.
- За гіпотенузою і гострим кутом.
Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й гострому куту другого, то такі трикутники рівні.
Тригонометрія у прямому трикутнику
Тригонометричні функції для гострих кутів можна визначити як відношення сторін прямокутного трикутника. Для будь-якого даного кута можна побудувати прямокутний трикутник, що містить такий кут, і зі сторонами: протилежним катетом, прилеглим катетом і гіпотенузою, пов'язаними з цим кутом певним співвідношенням. Ці відносини сторін не залежать від конкретного обраного прямокутного трикутника, а залежать тільки від заданого кута, оскільки всі трикутники, побудовані таким чином, є подібними.
- Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи.
- Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
- Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого катета.
- Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного катета.
Розглянемо у формальних позначених через малюнок вище.
- звідси
- звідси
- звідси
- звідси
Звідси можна зробити висновок, що:
- Щоб знайти катет, протилежний до гострого кута прямокутного трикутника, потрібно гіпотенузу помножити на синус цього кута, або прилеглий катет помножити на тангенс цього кута.
- Щоб знайти катет, прилеглий до гострого кута прямокутного трикутника, потрібно гіпотенузу помножити на косинус цього кута, або протилежний катет помножити на котангенс цього кута.
- Щоб знайти гіпотенузу, потрібно катет, прилеглий до гострого кута, поділити на косинус цього кута, або катет, протилежний до гострого кута, поділити на синус цього кута.
Вписане й описане коло прямокутного трикутника
Описане коло
Центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина гіпотенузи. Нехай — центр описаного кола навколо прямокутного ABC :
Вписане коло
У прямокутний трикутник ABC
з прямим кутом вписане коло, яке дотикається до катетів у точках і . Відрізки і дорівнюють радіусу кола.
Радіус вписаного кола у прямокутний трикутник з катетами і і гіпотенузою знаходиться за формулою:
Площа прямокутного трикутника може бути знайдена як добудок довжин відрізків на які гіпотенузу ділить точка дотику вписаного кола. Тобто, якщо — точка дотику вписаного кола до гіпотенузи , то[1]:
Теорема про висоту прямокутного трикутника
Нехай — висота прямокутного трикутника , опущена на гіпотенузу прямого кута, і нехай вона ділить гіпотенузу на відрізки та , які є проєкціями катетів та на гіпотенузу відповідно. Тоді справедливі такі рівності:
Доведення. Трикутники , та подібні між собою (за гострим кутом як прямокутні трикутники).
З подібності трикутників та маємо, що . Звідси випливає, що та . Також звідси випливає рівність .
З подібності трикутників та маємо, що . Звідси випливає, що . Також звідси випливає рівність .
Оскільки та , то, перемноживши між собою праві та ліві частини рівностей, одержимо .
Таким чином доведено всі чотири рівності.
Джерела
- Г. П. Бевз. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005, ISBN 966-504-431-1
- О. М. Роганін, О. І. Каплун. Математика. — Харків: Весна, 2009, ISBN 978-966-8896-77-4
- М. І. Бурда, Н. А. Тарасенкова. Геометрія 7 клас. — Україна: Зодіак-ЕКО, 2007, ISBN 978-966-7090-45-6
Див. також
Примітки
- Darvasi, Gyula (March 2005). Converse of a Property of Right Triangles. The Mathematical Gazette 89 (514): 72–76..
Посилання
- Прямокутний трикутник // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 165. — ISBN 978-966-7407-83-4.