Прямокутний трикутник

1. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.
2. Якщо у прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 30°, то протилежний цьому куту катет буде дорівнювати половині гіпотенузи.
3. Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°.
4. Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, ділить його на два рівнобедрених трикутники, оскільки медіана дорівнює половині гіпотенузи.
5. Якщо описати коло навколо прямокутного трикутника, то гіпотенуза буде діаметром кола.

У прямокутного трикутника є такі ознаки рівності:

• За двома катетами.

Якщо катети одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катетам другого, то такі трикутники рівні.

• За катетом і прилеглим гострим кутом.

Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету й прилеглому до нього гострому куту другого, то такі трикутники рівні.

• За катетом і протилежним гострим кутом.

Якщо катет і протилежний йому гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету й протилежно йому гострому куту другого, то такі трикутники рівні.

• За гіпотенузою і катетом.

Якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й катету другого, то такі трикутники рівні.

• За гіпотенузою і гострим кутом.

Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й гострому куту другого, то такі трикутники рівні.

Тригонометричні функції для гострих кутів можна визначити як відношення сторін прямокутного трикутника. Для будь-якого даного кута можна побудувати прямокутний трикутник, що містить такий кут, і зі сторонами: протилежним катетом, прилеглим катетом і гіпотенузою, пов'язаними з цим кутом певним співвідношенням. Ці відносини сторін не залежать від конкретного обраного прямокутного трикутника, а залежать тільки від заданого кута, оскільки всі трикутники, побудовані таким чином, є подібними.

• Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи.

• Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

• Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого катета.

• Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного катета.

Розглянемо у формальних позначених через малюнок вище.

${\displaystyle \sin A={\frac {a}{c}}\,,}$ звідси ${\displaystyle a=c\sin A,}$ ${\displaystyle c={\frac {a}{\sin A}}\,.}$

${\displaystyle \cos A={\frac {b}{c}}\,,}$ звідси ${\displaystyle b=c\cos A,}$ ${\displaystyle c={\frac {b}{\cos A}}\,.}$

${\displaystyle \operatorname {tg} A={\frac {a}{b}}\,,}$ звідси ${\displaystyle a=b\operatorname {tg} A,}$ ${\displaystyle b={\frac {a}{\operatorname {tg} A}}\,.}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} A={\frac {b}{a}}\,,}$ звідси ${\displaystyle b=a\operatorname {ctg} A,}$ ${\displaystyle a={\frac {b}{\operatorname {ctg} A}}\,.}$

Звідси можна зробити висновок, що:

• Щоб знайти катет, протилежний до гострого кута прямокутного трикутника, потрібно гіпотенузу помножити на синус цього кута, або прилеглий катет помножити на тангенс цього кута.

• Щоб знайти катет, прилеглий до гострого кута прямокутного трикутника, потрібно гіпотенузу помножити на косинус цього кута, або протилежний катет помножити на котангенс цього кута.

• Щоб знайти гіпотенузу, потрібно катет, прилеглий до гострого кута, поділити на косинус цього кута, або катет, протилежний до гострого кута, поділити на синус цього кута.

Нехай ${\displaystyle h}$ — висота прямокутного трикутника ${\displaystyle ABC}$, опущена на гіпотенузу прямого кута, і нехай вона ділить гіпотенузу на відрізки ${\displaystyle m}$ та ${\displaystyle n}$, які є проєкціями катетів ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$ на гіпотенузу ${\displaystyle c}$ відповідно. Тоді справедливі такі рівності:

1. ${\displaystyle h^{2}=n{\cdot }m}$
2. ${\displaystyle a^{2}=c{\cdot }m}$
3. ${\displaystyle b^{2}=c{\cdot }n}$
4. ${\displaystyle h{\cdot }c=a{\cdot }b}$

Доведення. Трикутники ${\displaystyle ACH}$, ${\displaystyle BCH}$ та ${\displaystyle ABC}$ подібні між собою (за гострим кутом як прямокутні трикутники).

З подібності трикутників ${\displaystyle ACH}$ та ${\displaystyle ABC}$ маємо, що ${\displaystyle {\frac {h}{a}}={\frac {b}{c}}={\frac {n}{b}}}$. Звідси випливає, що ${\displaystyle b^{2}=c{\cdot }n}$ та ${\displaystyle h{\cdot }c=a{\cdot }b}$. Також звідси випливає рівність ${\displaystyle h={\frac {a{\cdot }n}{b}}}$.

З подібності трикутників ${\displaystyle BCH}$ та ${\displaystyle ABC}$ маємо, що ${\displaystyle {\frac {h}{b}}={\frac {a}{c}}={\frac {m}{a}}}$. Звідси випливає, що ${\displaystyle a^{2}=c{\cdot }m}$. Також звідси випливає рівність ${\displaystyle h={\frac {b{\cdot }m}{a}}}$.

Оскільки ${\displaystyle h={\frac {a{\cdot }n}{b}}}$ та ${\displaystyle h={\frac {b{\cdot }m}{a}}}$, то, перемноживши між собою праві та ліві частини рівностей, одержимо ${\displaystyle h^{2}={\frac {a{\cdot }n}{b}}{\cdot }{\frac {b{\cdot }m}{a}}=m{\cdot }n}$.

Таким чином доведено всі чотири рівності.

• Г. П. Бевз. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005, ISBN 966-504-431-1
• О. М. Роганін, О. І. Каплун. Математика. — Харків: Весна, 2009, ISBN 978-966-8896-77-4
• М. І. Бурда, Н. А. Тарасенкова. Геометрія 7 клас. — Україна: Зодіак-ЕКО, 2007, ISBN 978-966-7090-45-6

• Теорема Фалеса про три точки на колі

• Прямокутний трикутник // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 165. — ISBN 978-966-7407-83-4.