Кут

У міжнародній системі одиниць SI використовується спосіб вираження величини кута, за якого кут — безрозмірнісна величина. Цей спосіб вимірювання базується на означенні радіана[4]. За цього значення кута за означенням дорівнює відношенню довжини дуги S кола з центром у вершині кута і будь-яким радіусом до величини цього радіуса r. Це відношення не залежить від вибору радіуса. Кут величиною 1 радіан визначається як такий, за якого відношення довжини дуги до радіуса дорівнює одиниці, тобто довжина дуги дорівнює радіусу. Безрозмірнісні величини кутів зручно використовувати у тригонометрії.

Традиційно кути вимірюють у кутових градусах, мінутах і секундах. При цьому розгорнутий кут ділиться на 180 градусів, кожен із градусів ділиться на 60 мінут, кожна з мінут на 60 секунд. Градуси позначаються значком °, наприклад, 37°, мінути штрихами, а секунди подвійними штрихами.

Кут можна розглядати і як фігуру, утворену обертанням променя, починаючи з певного початкового положення. Тоді, залежно від напрямку обертання, величина кута може набувати як додатних, так і від'ємних значень. За домовленістю вважається, що при обертанні променя проти годинникової стрілки величина кута зростає від нуля до додатних значень. При обертанні за годинниковою стрілкою величина кута зменшується, набуваючи від'ємних значень.

Такий підхід дозволяє також розглядати значення кутів, більші від повного кута, якщо промінь здійснить більше від одного оберту. Це зручно в тригонометрії та фізиці.

Шкала компаса

Позначення кута нахилу дороги на дорожньому знаку

У морській справі кути вимірюються у румбах. 1 румб дорівнює ¹⁄₃₂ від повного кола (360 градусів) компаса, тобто 11,25 градуса чи 11°15′.

В астрономії кут прямого піднесення і годинний кут в екваторіальній системі координат вимірюються в годинах, мінутах і секундах (що становлять відповідно ¹⁄₂₄, ¹⁄₁₄₄₀ та ¹⁄₈₆₄₀₀ від повного кола); це пов'язане з кутовою швидкістю осьового обертання Землі, яка робить приблизно 1 оберт за 24 години[5]. Отже, за одну годину (хвилину, секунду) часу небесна сфера «повертається» приблизно на 1 годину (хвилину, секунду) у кутовій мірі. Інші кутові величини в астрономії виражаються зазвичай у градусах, мінутах та секундах дуги. Слід зазначити щоб уникнути плутанини, що одна секунда (мінута) прямого піднесення дорівнює 15 секундам (мінутам) дуги.

В артилерії та збройовій справі використовуються також тисячні (1/1000 частина радіана) та поділки кутоміра.

У деяких контекстах, таких як ідентифікація точки в полярних координатах чи опис орієнтації об'єкта у двох вимірах відносно його базової орієнтації, кути, що відрізняються на ціле число повних обертів, фактично є еквівалентними. Наприклад, у таких випадках можна вважати еквівалентними кути 15° та 360015° (= 15° + 360°×1000). В інших контекстах, таких як ідентифікація точки на спіральній кривій або опис сукупного обертання об'єкта у двох вимірах відносно його початкової орієнтації, кути, що відрізняються на ненульове ціле число повних обертів, не є еквівалентними.

Деякі плоскі кути мають спеціальні назви. Крім вищезгаданих одиниць вимірювання (радіан, румб, градус тощо), слід згадати:

• квадрант — прямий кут, ¹⁄₄ кола);
• секстант — ¹⁄₆ кола, величина шкали приладу для вимірювання кутів — секстанта;
• октант — ¹⁄₈ кола; крім того, в стереометрії октантом називають тригранний кут, утворений трьома взаємно перпендикулярними площинами.

Малі кути (наприклад, кут похилу поверхні) іноді вимірюють не власне кутовою мірою, а її тангенсом (або синусом), тобто відношенням піднесення по нахилені площині до проекції на горизонталь пройденого по ній шляху (або до самого цього шляху). Для випадку малих кутів похилу це відношення приблизно дорівнює куту, вираженому в радіанах (tg α ≈ sin α ≈ α при α << 1). При цьому це відношення виражається зазвичай у відсотках або проміле. Наприклад, похил дороги у 10 % означає, що на кожні 100 метрів шляху (у проекції на горизонталь) дорога піднімається на 10 м; кут до горизонту дорівнює arctg(10/100) ≈ 5,71° ≈ 0,1 радіана.

У математиці та фізиці, зазвичай, додатнім напрямом відліку кутів вважається напрям проти стрілки годинника. Переважно, кут починають вимірювати від променя, початок якого збігається з центром системи координат (СК), а напрям — з додатним напрямом осі абсцис.

Для визначення напряму відліку кутів у тривимірному просторі використовують правило гвинта.

В географії та геодезії за початок відліку кутів по азимуту прийнято напрям «на північ»; кут відлічується за годинниковою стрілкою. Отже, напряму «на схід» відповідає азимутальний кут 90°, «на південь» — 180°, «на захід» — 270°. У військовій справі (артилерії) напрям відліку кутів є аналогічним, але відлік ведуть у тисячних або поділках кутоміра.

Кутоміри

Прилади для вимірювання кутів називаються кутомірами. Найпопулярніший із них транспортир. Транспортир можна використовувати як для вимірювання, так і для побудови кута певної величини.

Вимірювання кутів є важливою практичною задачею в багатьох областях науки і техніки: в астрономії, навігації, в будівництві та гірництві тощо.

За допомогою тригонометрії вимірювання кутів дозволяє визначати віддалі між далекими об'єктами. Для задоволення потреби вимірювання кутів розроблено багато високоточних інструментів: теодолітів, гоніометрів, секстантів і т. д.

У постулаті додавання кута зазначено, що якщо кут B знаходиться у внутрішній частині кута AOC, то

${\displaystyle m\angle AOC=m\angle AOB+m\angle BOC}$

Міра кута AOC — сума міри кута AOB і міри кута BOC. У цьому постулаті не має значення, в якій одиниці вимірюється кут, доки всі кути вимірюються в однаковій одиниці вимірювання.

Одиниці, які використовуються для представлення кутів, перераховані нижче в порядку зменшення величини. Серед цих одиниць найчастіше використовуються градус і радіан. Кути, виражені в радіанах, є безрозмірними для методу аналізу розмірностей.

Більшість одиниць кутового вимірювання визначені таким чином, що один оберт (тобто одне повне коло) дорівнює n одиницям, для деякого цілого числа n. Два винятки — радіан та діаметрова частина.

Оберт (n = 1)

Оберт, повне коло — це повний круговий рух (коли відбувається повернення до початкової точки). Оберт позначається τ, cyc, rev, rot.

Квадрант (n = 4)

Квадрант це 14 від оберту, тобто прямий кут. Ця одиниця використовувалася в Началах Евкліда. 1 кв. = 90° = π2 рад = 14 оберт = 100 °. У Німеччині для позначення квадранта використовують символ ^∟.

Різновиди кутів за величиною

Розгорнутий кут

Прямий кут

Гострий кут

Тупий кут

Неопуклий кут

Повний кут

Залежно від величини кути поділяються на декілька категорій.

• Розгорнутим кутом називають кут, обидва промені якого лежать на одній прямій, по різні боки від вершини. Величина такого кута приймається рівною 180° і дорівнює за означенням радіана ${\displaystyle \pi }$ радіан.
• Прямий кут дорівнює половині розгорнутого кута. Прямі кути утворені взаємно перпендикулярними променями. Величина прямого кута становить 90° або ${\displaystyle \pi /2}$ радіан.
• Гострими кутами називають кути, менші за прямі. Величина гострих кутів лежить у проміжку від 0° до 90°, або в радіанах від 0 до ${\displaystyle \pi /2}$
• Тупі кути більші від прямих, але менші від розгорнутих, їхня величина лежить у проміжку від 90° до 180°, або від ${\displaystyle \pi /2}$ до ${\displaystyle \pi }$.
• Неопуклі кути (більше 180°, але менше 360°)
• Кут, вдвічі більший від розгорнутого, називається повним. Його величина у радіанах дорівнює відношенню довжини кола до радіуса, що становить ${\displaystyle 2\pi }$. У градусах це 360°.

Вертикальні кути та прилеглі кути і їх часткові випадки

Прилеглі кути. Величина кута, утвореного зовнішніми (не спільними) їхніми сторонами, дорівнює сумі величин їх самих (α + β)

Кути α і β є вертикальними. Кути α та γ, а також β та γ, складають пари суміжних

Комплементарні кути α і β взаємно доповнюють один одного до прямого кута (α + β = 90°)

Суміжні кути: на рисунку гострий (α) і тупий (β) — утворюють розгорнутий кут (α + β)

Спряжені кути — утворюють повний кут (360°); наведено частковий приклад: 150° + 210° = 360°

Два кути, які мають спільну сторону, називаються прилеглими.

При перетині двох прямих утворюються чотири нерозгорнуті кути: дві пари вертикальних кутів, чотири пари суміжних кутів. Протилежні між собою вертикальні кути конгруентні. Суміжні кути разом утворюють розгорнутий кут, тому їхня сума дорівнює 180°, або в радіанах — ${\displaystyle \pi }$.

Два кути, які в сумі утворюють прямий кут, називаються комплементарними. Сума комплементарних кутів дорівнює 90°, або, в радіанах, ${\displaystyle \pi /2}$. Обидва кути є гострими.

Вписаний кут θ дорівнює половині величини центрального кута 2θ, що спирається основою на ту ж дугу (рожевого кольору). Тобто кут θ не змінює своєї величини при переміщенні вершини уздовж кола (зелений та блакитний кути). Зовнішній кут для вписаного з іншого боку кута кола має ту ж величину θ (коричневого кольору)

Будь-які конкретній дузі кола можна зіставити єдиний центральний і безліч вписаних кутів.

Центральний і вписаний кут

Центральний кут θ

Вписаний кут α

• Центральний кут — кут з вершиною у центрі кола. Величина центрального кута дорівнює градусній мірі дуги, розташованої між сторонами цього кута.
• Вписаний кут — кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло. Величина вписаного кута дорівнює половині градусної міри дуги, обмеженої його сторонами. Усі вписані кути, що спираються на одну і ту ж дугу, є однаковими.
• Величина вписаного кута дорівнює половині величини центрального кута, що спирається біля основи на колі на ту ж дугу (див. рис.).

Теорема про суму внутрішніх кутів многокутника
У евклідовій геометрії сума внутрішніх кутів α_i довільного n-кутника без самоперетинів дорівнює ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=(n-2)\cdot 180^{\circ }.}$

Так, наприклад:

• сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°;
• чотирикутника 360°;
• п'ятикутника 540° тощо.

У гіперболічній геометрії сума кутів трикутника завжди менша 180°.

У сферичній геометрії сума кутів трикутника завжди більша 180°.

Теорема про зовнішній кут трикутника: Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох інших кутів трикутника, не суміжних з цим внутрішнім кутом. (див. рис.): ${\displaystyle d=a+c.}$