Результант
У математиці, результантом двох многочленів і над деяким полем , зі старшими коефіцієнтами рівними одиниці, називається вираз
іншими словами, результант дорівнює добутку попарних різниць між їхніми коренями. Добуток береться за всіма коренями в алгебричному замиканні поля з урахуванням їх кратностей; оскільки вираз, що виходить, є симетричним многочленом від коренів многочленів і (які, можливо не належать полю ), його можна записати як многочлен від коефіцієнтів і . Для многочленів, старші коефіцієнти яких ( і відповідно) не обов'язково рівні 1, наведений вище вираз домножується на
Властивості і способи обчислення
- Основна властивість результанта (і його основне застосування): результант — многочлен від коефіцієнтів і , рівний нулю в тому і лише в тому випадку, коли многочлени і мають спільний корінь (можливо, в деякому розширенні поля ).
- Результант дорівнює визначнику матриці Сильвестра.
- Дискримінант многочлена p можна визначити через результант p і його похідну p'.
- де pn — старший коефіцієнт многочлена p.
- Для доведення спершу розглянемо випадок pn=1. Тоді маємо і при виконується рівність:
- Звідси одержуємо:
- Звідси й одержується частковий випадок рівняння. Загальний випадок одержується якщо врахувати, що при домноженні многочлена p на константу pn результант res(p, p') домножується на p2n-1, а дискримінант D(p) домножується на p2n-2
- Результант рівний добутку значень одного з многочленів за коренями іншого (як і раніше, добуток береться з урахуванням кратності коренів):
- Якщо і , тоді
- Якщо є многочленами однакових степенів і ,
- тоді
- де
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.