Результант

У математиці, результантом двох многочленів $P$ і $Q$ над деяким полем $\mathbb {K}$ , зі старшими коефіцієнтами рівними одиниці, називається вираз

\mathrm {res} (P,Q)=\prod _{(x,y):\,P(x)=0,\,Q(y)=0}(x-y),\,

іншими словами, результант дорівнює добутку попарних різниць між їхніми коренями. Добуток береться за всіма коренями в алгебричному замиканні поля $\mathbb {K}$ з урахуванням їх кратностей; оскільки вираз, що виходить, є симетричним многочленом від коренів многочленів $P$ і $Q$ (які, можливо не належать полю $\mathbb {K}$ ), його можна записати як многочлен від коефіцієнтів $P$ і $Q$ . Для многочленів, старші коефіцієнти яких ( $p$ і $q$ відповідно) не обов'язково рівні 1, наведений вище вираз домножується на

p^{degQ}q^{degP}.\,

Властивості і способи обчислення

Основна властивість результанта (і його основне застосування): результант — многочлен від коефіцієнтів $P$ і $Q$ , рівний нулю в тому і лише в тому випадку, коли многочлени $P$ і $Q$ мають спільний корінь (можливо, в деякому розширенні поля $\mathbb {K}$ ).
Результант дорівнює визначнику матриці Сильвестра.
Дискримінант многочлена p можна визначити через результант p і його похідну p'.

D(p)=(-1)^{{\frac {1}{2}}n(n-1)}{\frac {1}{p_{n}}}res(p,p'),\quad

де p_n — старший коефіцієнт многочлена p.

Для доведення спершу розглянемо випадок p_n=1. Тоді маємо

g(x)=\prod (x-\alpha _{i})

і при

x=\alpha _{j}

виконується рівність:

g^{'}(x)=\prod _{i\neq j}(\alpha _{j}-\alpha _{i})\,

Звідси одержуємо:

res(p,p')=\prod _{j}(p^{'}(\alpha _{j}))=\prod _{i\neq j}(\alpha _{j}-\alpha _{i})=(-1)^{{\frac {1}{2}}n(n-1)}D(p)

Звідси й одержується частковий випадок рівняння. Загальний випадок одержується якщо врахувати, що при домноженні многочлена p на константу p_n результант res(p, p') домножується на p^2n-1, а дискримінант D(p) домножується на p^2n-2

Результант рівний добутку значень одного з многочленів за коренями іншого (як і раніше, добуток береться з урахуванням кратності коренів):

\mathrm {res} (P,Q)=\prod _{P(x)=0}Q(x).\,

$\mathrm {res} (P,Q)=(-1)^{\deg P\cdot \deg Q}\cdot \mathrm {res} (Q,P)$
$\mathrm {res} (P\cdot R,Q)=\mathrm {res} (P,Q)\cdot \mathrm {res} (R,Q)$
Якщо $P'=P+R\cdot Q\,$ і $\deg P'=\deg P\,$ , тоді $\mathrm {res} (P,Q)=\mathrm {res} (P',Q)\,$
Якщо $X,Y,P,Q$ є многочленами однакових степенів і $X=a_{00}\cdot P+a_{01}\cdot Q,Y=a_{10}\cdot P+a_{11}\cdot Q$ ,

тоді

\mathrm {res} (X,Y)=\det {\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}^{\deg P}\cdot \mathrm {res} (P,Q)

$\mathrm {res} (P_{-},Q)=\mathrm {res} (Q_{-},P)\,$ де $P_{-}(z)=P(-z)\,$

Посилання

Стаття Weisstein, Eric W. «Resultant» на сайті «MathWorld».

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.