Матриця Сильвестра
В математиці, матрицею Сильвестра називають матрицю елементами якої є нулі, а також певним чином розмішені коефіцієнти двох многочленів.
Означення
Нехай p і q два многочлени, степенів m і n. Візьмемо:
Матрицею Сильвестра для многочленів p і q є матриця розмірності одержана таким чином:
- елементами першого рядка є:
- другий рядок одержується з першого переміщенням елементів на одну позицію вправо; перший елемент рядка рівний нулю.
- наступні (n-2) рядків одержуються подібним чином.
- (n+1)-ий рядок має вигляд:
- Наступні рядки формуються у вже згаданий спосіб.
Наприклад якщо m=4 і n=3, одержуємо наступну матрицю:
Визначник матриці Сильвестра
Теорема Визначник матриці Сильвестра многочленів p і q рівний результанту цих многочленів, де результант визначається як:
- де — корені многочлена p в алгебраїчному замиканні поля, а — корені многочлена q в алгебраїчному замиканні поля.
Доведення
Розглянемо систему рівнянь
Дана система є системою n+m лінійних рівнянь щодо матрицею яких є матриця Сильвестра. Очевидно, якщо многочлени p і q мають спільний корінь то визначник матриці Сильвестра рівний нулю. Далі оскільки визначник є многочленом від коефіцієнтів многочленів p і q він є також многочленом від їх коренів. Якщо хоч для однієї з n•m пар виконується:
то визначник дорівнюватиме нулю, а значить, як многочлен від коренів многочленів він повинен ділитися на добуток цих різниць, тобто результант є дільником визначника Сильвестра, як многочлен від Проте розписуючи коефіцієнти многочлена через його корені і підставляючи в формулу визначника бачимо, що степінь не може бути більшою ніж m, а степінь не може бути більшою ніж n; також не важко бачити, що, наприклад, коефіцієнти біля в результанта і визначника Сильвестра збігаються і дорівнюють Звідси і випливає рівність результанта і визначника Сильвестра.
Застосування
Розвязки лінійних рівнянь
де є вектором розмірності і вектор розмірності , є векторами коефіцієнтів єдиних поліномів (степенів і , відповідно) що задовольняють рівність
(в даному рівнянні добуток і сума здійснюються для поліномів). Відповідно ядро транспонованої матриці Сильвестра дає всі розв'язки рівняння Безу and .
Як наслідок ранг матриці Сильвестра визначає степінь найбільшого спільного дільника многочленів p і q.
- м
Посилання
- Eric W. Weisstein, Sylvester Matrix на сайті MathWorld