Многочлен

В многочлені ${\displaystyle c_{0}+c_{1}x+\ldots +c_{n}x^{n}}$ доданки ${\displaystyle c_{i}x^{i}}$ називаються його членами. Якщо ${\displaystyle c_{n}\neq 0}$, то ${\displaystyle c_{n}x^{n}}$ називається старшим членом, а його степінь ${\displaystyle n}$ степенем многочлена. Степінь многочлена ${\displaystyle f(x)}$ позначається ${\displaystyle \deg(f)}$. Член нульового степеня ${\displaystyle c_{0}}$ називається вільним членом.

Ще є нульовий многочлен ${\displaystyle f(x)=0}$ (інколи пишуть ${\displaystyle f(x)\equiv 0}$, щоб підкреслити, що це не рівняння, а тотожність), який не має жодного члена, тому визначення степеня многочлена до нього застосувати не можна. Для зручності вважають, що степінь нульового многочлена дорівнює мінус нескінченності, ${\displaystyle -\infty }$.

Многочлен нульового степеня називається константою, першого степеня — лінійним, другого степеня — квадратичним, третього степеня — кубічним. Многочлени степеня більше нуля ми будемо називати неконстантними або нетривіальними.

Многочлен з одним членом називається одночленом, з двома членами — двочленом, з трьома — тричленом.

Наприклад, ${\displaystyle x^{3}+2x+5}$ — кубічний тричлен з членами ${\displaystyle x^{3}}$, ${\displaystyle 2x}$ і ${\displaystyle 5}$, причому ${\displaystyle x^{3}}$ — це старший член, а ${\displaystyle 5}$ — вільний член.

• Сума многочленів є многочленом. Степінь суми многочленів менше або дорівнює максимуму степенів доданків.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}+\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}=\sum _{i=0}^{\max\{n,m\}}(a_{i}+b_{i})x^{i}}$

• Добуток многочленів є многочленом. Степінь добутку многочленів дорівнює сумі степенів співмножників.

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}\right)=\sum _{k=0}^{n+m}\left(\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j}\right)x^{k}}$

• Многочлени можна ділити з остачею: якщо ${\displaystyle g(x)}$ — ненульовий многочлен, то будь-який многочлен ${\displaystyle f(x)}$ можна представити у вигляді

${\displaystyle f(x)=q(x)g(x)+r(x)}$,

де ${\displaystyle q(x)}$ і ${\displaystyle r(x)}$ — многочлени, причому ${\displaystyle \deg(r)<\deg(g)}$.

Многочлен можна розглядати як функцію від змінної ${\displaystyle x}$. Число ${\displaystyle a}$ називається коренем многочлена ${\displaystyle f(x)}$, якщо воно є коренем відповідної функції, тобто якщо ${\displaystyle f(a)=0}$. Це рівносильно умові «Многочлен ${\displaystyle f(x)}$ ділиться на двочлен ${\displaystyle x-a}$ без остачі» (див. теорему Безу). Якщо ${\displaystyle f(x)}$ ділиться на ${\displaystyle (x-a)^{2}}$ без остачі, то корінь ${\displaystyle a}$ називається кратним; якщо не ділиться, то простим. Кратністю кореня називається найбільше число ${\displaystyle k}$, для якого ${\displaystyle f(x)}$ ділиться на ${\displaystyle (x-a)^{k}}$ без остачі (таким чином, прості корені — це корені кратності 1).

Якщо неконстантний многочлен ${\displaystyle f(x)}$ можна представити у вигляді ${\displaystyle f(x)=g(x)h(x)}$, де ${\displaystyle g(x)}$ і ${\displaystyle h(x)}$ — многочлени степеня не нижче першого, то кажуть, що ${\displaystyle f(x)}$ розкладено на нетривіальні множники ${\displaystyle g(x)}$, ${\displaystyle h(x)}$. Якщо ж такого представлення не існує, многочлен називають нескоротним. Зрозуміло, що оскільки

${\displaystyle \deg(f)=\deg(g)+\deg(h)}$, ${\displaystyle \deg(g)>0}$ і ${\displaystyle \deg(h)>0}$,

то

${\displaystyle \deg(g)<\deg(f)}$ і ${\displaystyle \deg(h)<\deg(f)}$.

Якщо якийсь з множників ${\displaystyle g(x)}$, ${\displaystyle h(x)}$ можна розкласти на нетривіальні множники, то ми продовжимо процес розкладання допоки це можливо. Оскільки на кожному кроці степінь множників зменшується, цей процес є скінченним. Отже в результаті ми отримаємо представлення ${\displaystyle f(x)}$ у вигляді

${\displaystyle f(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)\ldots f_{m}(x)}$,

де многочлени ${\displaystyle f_{i}(x)}$ є нескоротними. Таке представлення однозначно, з точністю до перестановки множників.

Комплексний многочлен степеня ${\displaystyle n>0}$ має рівно ${\displaystyle n}$ комплексних коренів, з урахуванням кратності.

Інакше кажучи, його можна розкласти на ${\displaystyle n}$ лінійних множників:

${\displaystyle f(z)=c_{n}(z-z_{1})(z-z_{2})\ldots (z-z_{n}),\quad c_{n},z_{i}\in \mathbb {C} }$

Таким чином, серед многочленів з комплексними коефіцієнтами нескоротними є лише лінійні многочлени.

Нехай ${\displaystyle \mathbf {F} =\{f_{0}(x),f_{1}(x),\dots ,f_{m}(x)\}}$ — задана на ${\displaystyle [a,b]}$ система линійно незалежних функцій. Узагальненим многочленом будемо називати функцію

${\displaystyle P_{m}(x):=a_{0}f_{0}(x)+a_{1}f_{1}(x)++a_{m}f_{m}(x)}$

де ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{m}}$ — довільні дійсні числа (коэфіціенти узагальненого многочлена).

Приклади

• ${\displaystyle \mathbf {F} =\{1,x,\dots ,x^{m}\}}$, многочлен
• ${\displaystyle \mathbf {F} =\{1,\cos(x),\dots ,\cos(mx)\}}$, тригонометричний многочлен
• ${\displaystyle \mathbf {F} =\{J_{0}(x),J_{1}(x),\dots ,J_{m}(x)\}}$, де ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ функції Бесселя

• Одночлен
• Многочлен Тейлора
• Матричний многочлен

• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Розклад матричних многочленів на множники: монографія / П. С. Казімірський ; [відп. ред. Д. О. Супруненко] ; НАН України, Ін-т приклад. проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача. — 2-ге вид., виправл. — Львів: ІППММ, 2015. — 282 с. : 1 арк. портр. — Бібліогр.: с. 274—280 (79 назв). — ISBN 978-966-02-7655-0
• Многочлен // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / главн. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : «Советская энциклопедия», 1969—1978. (рос.)
• Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — Москва : Наука, 1965. — С. 300.(рос.)
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)