Розв'язки Йоста

В одновимірному випадку гамільтоніан має вигляд (при приведенні до безрозмірних змінних):

${\displaystyle H=-{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}+u(x),\quad x\in \mathbb {R} ,}$

де потенціал ${\displaystyle u(x)}$ — локально інтегровна функція, визначена на множині дійсних чисел.

В випадку неперервного спектру маємо:

${\displaystyle -\psi (x)''+u(x)\psi (x)=k^{2}\psi (x),}$

де ${\displaystyle k^{2}=\lambda }$ — власні значення гамільтоніана (енергія), ${\displaystyle \psi (x)}$ — власні функції (хвильова функція).

Якщо на потенціал накладені такі умови:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|x||u(x)|\mathrm {d} x<\infty ,}$ — ${\displaystyle u(x)}$ спадає на нескінченності швидше ніж ${\displaystyle x^{-2}}$;

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|u(x)|\mathrm {d} x<\infty ,}$ — ${\displaystyle u(x)}$ не має сингулярностей сильніше ${\displaystyle x^{-1}}$;

тоді для дійсних значень ${\displaystyle k}$ введемо розв'язки ${\displaystyle f_{\pm }(x,k)}$ які задовольняють граничній умові:

${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }f_{\pm }(x,k)\cdot e^{\mp ikx}=1,}$

дані розв'язки названі розв'язками Йоста на честь швейцарського фізика Реса Йоста який перший запропонував їх.

Функції тільки від ${\displaystyle k}$, тобто визначені в конкретній точці простору (часто в нулі чи на нескінченності), називають функціями Йоста, хоча багато авторів вживають обидва вирази на позначення ${\displaystyle f_{\pm }(x,k)}$.

Для всіх ${\displaystyle k}$ (комплексних), з накладеною умовою ${\displaystyle \mathrm {I} m\,k\geq 0}$, і для ${\displaystyle u(x)}$, який задовольняє умови накладені вище, існують розв'язки (і вони єдині) рівняння Шредінгера які задовольняють такі інтегральні рівняння:[1]

${\displaystyle f_{+}(x,k)=e^{ikx}+\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin k(\xi -x)}{k}}u(\xi )f_{+}(\xi ,k)\mathrm {d} \xi ,}$

${\displaystyle f_{-}(x,k)=e^{-ikx}-\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {\sin k(\xi -x)}{k}}u(\xi )f_{-}(\xi ,k)\mathrm {d} \xi ,}$

причому дані розв'язки неперервні по ${\displaystyle k}$ при ${\displaystyle \mathrm {I} m\,k\geq 0}$ і аналітичні при ${\displaystyle \mathrm {I} m\,k>0}$.

Рівняння для розв'язків Йоста можна отримати безпосередньо з граничних умов і рівняння Шредінгера за допомогою функції Гріна в вигляді:[2]

${\displaystyle G(x,\xi ,k)=\left\lbrace {\begin{array}{ll}{\frac {\sin k(\xi -x)}{k}},&\xi <x\\0,&\xi >x\end{array}}\right..}$

Багато інших задач приводиться до одновимірного рівняння Шредінгера. Зокрема задача розсіяння на центральному потенціалі в трьохвимірному просторі зводиться до такого рівняння для радіальної функції в S-стані[3]:

${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}\psi (r)+u(r)\psi (r)=k^{2}\psi (r),}$.

В такому випадку умови на потенціал відмінні від наведених вище і мають вигляд:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }r|u(r)|\mathrm {d} r<\infty ,}$ — ${\displaystyle u(r)}$ при ${\displaystyle r=0}$ не має сингулярності сильніше ${\displaystyle x^{-2}}$;

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }r^{2}|u(r)|\mathrm {d} r<\infty ,}$ — ${\displaystyle u(r)}$ спадає на нескінченності швидше ніж ${\displaystyle x^{-3}}$;

Розв'язок Йоста задовольняє рівняння: : ${\displaystyle \lim _{r\to \infty }f(r,k)\cdot e^{ikr}=1,}$ при цьому:

${\displaystyle f(x,k)=e^{-ikr}+\int \limits _{r}^{\infty }{\frac {\sin k(r'-r)}{k}}u(r')f(r',k)\mathrm {d} r'.}$.

Функція ${\displaystyle f(x,-k)}$ теж є розв'язком рівняння, і цей розв'язок є лінійно незалежним від ${\displaystyle f(x,k)}$.

Функція Йоста визначена як ${\displaystyle f(k)=f(0,k)}$, грає важливу роль в теорії розсіяння, зокрема через неї виражається матриця розсіяння ${\displaystyle S(k)}$:

${\displaystyle S(k)={\frac {f(k)}{f(-k)}}}$.