Солітон

Соліто́н — структурно стійка усамітнена (відокремлена) хвиля, що розповсюджується в нелінійному середовищі. Солітони поводяться подібно до частинок (тому їх можна називати частинкоподібними хвилями): при взаємодії один з одним або з деякими іншими збудженнями вони не руйнуються, а рухаються, зберігаючи свою структуру незмінною. Солітони описуються нелінійними диференціальними рівняннями в частинних похідних (для неперевних середовищ) або системами нелінійних звичайних диференціальних рівнянь (для дискретних середовищ).

Графік темного солітону

Історія відкриття

Історія вивчення солітона почалася в серпні 1834 року, на березі каналу Юніон поблизу Единбургу. Джон Скотт Расселл спостерігав на поверхні води явище, яке називав «усамітненою (відокремленою) хвилею», — англ. solitary wave[1][2][3].

Вперше слово «солітон» вжили для опису нелінійних хвиль, що взаємодіють як частинки[4]. Солітон трохи не став «солітроном», але йому пощастило — в ті часи існувала фірма з аналогічною назвою, і однією літерою довелося поступитися[5].

Формальне визначення

Найбільш загальноприйнятим вважають визначення, наведене Дразіним та Джонсоном в їхній книжці[6] Згідно з цим визначенням солітоном називають хвильове збудження в нелінійному середовищі, яке задовольняє наступним трьом вимогам:

  • воно розповсюджується з постійною швидкістю, не змінюючи при цьому своєї форми;
  • воно локалізоване у просторі;
  • воно не змінюється після зіткнення з іншим таким же збудженням (окрім можливого зсуву фаз).

У реальних фізичних системах часто використовують слабше визначення, у якому однієї або кількох перелічених умов або не дотримуються взагалі, або дотримуються в межах певного наближення.

Солітони в різних фізичних системах

Солітони експериментально спостерігаються в низці фізичних систем:

  • На поверхнях рідин солітони утворюються у вигляді локалізованих горбів, що розповсюджуються на далекі відстані. Це перші солітони, виявлені в природі. Іноді солітонами вважають гігантські хвилі, що утворюються на поверхні океанів після землетрусів та вивержень вулканів — цунамі.
  • Іонозвукові та магнітозвукові солітони в плазмі.
  • Гравітаційні солітони в шаруватій рідині.
  • Солітони у вигляді коротких світлових імпульсів в активному середовищі лазера.
  • Солітони можуть утворюватися в довгих контактах Джозефсона або в масивах точкових контактів Джозефсона. Вони мають фізичний зміст кванту магнітного потоку і називаються джозефсонівськими вихорами або флуксонами. Солітони в джозефсонівських контактах описуються рівнянням синус-Гордона.
  • У магнетиках можуть утворюватися солітони різного типу, зокрема доменні стінки мають властивості солітонів.
  • В оптичних хвилеводах, в яких присутня нелінійна залежність показника заломлення від електичного поля (завдяки так званому ефекту Керра) утворюються оптичні солітони.
  • У бозе — ейнштейнівських конденсатах холодних атомних газів спостерігалися солітони, що мають фізичний зміст рухливих областей підвищеної густини атомів.
  • Існує багато систем, в яких можуть існувати солітони або збудження, близькі до них за своїми властивостями. Імовірно, прикладом солітона є велетенський гексагон на Сатурні[джерело?].
  • У певному наближенні можна розглядати як солітони нервові імпульси[джерело?].

Математичні основи теорії солітонів

Існує декілька математичних моделей, для яких солітони є точним розв'язком: рівняння Кортевега-де Вріза, нелінійне рівняння Шредінгера, рівняння синус-Гордона, рівняння Кадомцева-Петвіашвілі, ізотропне рівняння Ландау-Ліфшиця, ланцюжок Тоди. Основним математичним методом, який дозволяє явно побудувати солітонні розв'язки, є метод оберненої задачі розсіювання. Існують також інші методи: метод Хіроти, перетворення Беклунда та ін.

Рівняння Кортевега—де Фріза

Однією з найпростіших і найвідоміших моделей, що припускають існування солітонів у розв'язку, є рівняння Кортевега—де Фріза:

Одним з можливих рішень цього рівняння є усамітнена хвиля, названа солітоном:

де A — амплітуда солітону, L — ефективна ширина його основи. Такий солітон рухається зі швидкістю .

1965 року Забуський і Краскал виявили, що цей розв'язок являє собою усамітнену хвилю, та має властивість, яка не була відома раніше, а саме: вона «пружно» взаємодіє з іншою такою хвилею[4]. Вони назвали такі хвилі солітонами.

Видно, що солітони з великою амплітудою виявляються вужчими і рухаються швидше, і взаємодія двох окремих солітонів подібна до зіткнення частинок. Солітон-1 з більшою енергією наздоганяє повільніший солітон-2, але не переганяє його — між ними відбувається складна нелінійна взаємодія, в результаті якої швидший солітон-1 «передає» свою енергію повільнішому солітону-2. Відтак солітон-2 починає рухатися швидше, а солітон-1 уповільнюється до початкової швидкості солітона-2. Хвилі-солітони таким чином відтворюють картину взаємодії двох частинок чи куль, одна з яких наздоганяє повільнішу і пружно передає їй свою енергію під час зіткнення.

Кубічне нелінійне рівняння Шредінгера

Для нелінійного рівняння Шредінгера:

при значенні параметра допустимі відокремлені хвилі у вигляді:

де  — деякі постійні.

Класифікація

Перші три з вищенаведених рівнянь (Кортевега-де Вріза, синус-Гордона та нелінійне рівняння Шредінгера) є найвідомішими рівняннями теорії солітонів. Розв'язки цих рівнянь утворюють три основних типи солітонів:

  • Солітони Кортевега-де Вріза (акустичні солітони).
  • Солітони огинаючої.
  • Топологічні солітони (кінки та антикінки).

Див. також

Джерела
  1. J.S.Russell (1838), Report of the committee on waves, Report of the 7th Meeting of British Association for the Advancement of Science, John Murray, London, pp.417-496.
  2. J.S.Russell «Report on Waves»: (Report of the fourteenth meeting of the British Association for the Advancement of Science, York, September 1844 (London 1845), pp 311—390, Plates XLVII-LVII).
  3. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — М. : Мир, 1987. — С. 12.
  4. N.J.Zabusky and M.D.Kruskal (1965), Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states, Phys.Rev.Lett., 15 pp. 240—243.
  5. Филиппов А. Т. Многоликий солитон. 2-е изд, перераб. и доп. (выпуск 48 серии «Библиотечка квант»). — М., Наука, 1990. — 288 с. ISBN 5-02-014405-3
  6. P. G. Drazin and R. S. Johnson (1989). Solitons: an introduction (англійська). Cambridge: Cambridge University Press..

Література
  • Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — М. : Мир, 1987. — 480 с.
  • Буллаф Р., Кодри Ф. Солитоны. — М. : Мир, 1983. — 408 с.
  • Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М. : Мир, 1988. — 696 с.
  • Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. — М. : Наука, 1980. — 320 с.
  • Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. — М. : Физматлит, 2006. — 480 с.
  • Лонгрен К., Скотт Э. Солитоны в действии. — М. : Мир, 1981. — 312 с.
  • Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. — М. : Мир, 1983. — 294 с.
  • Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М. : Мир, 1989. — 328 с.
  • Скотт Э. Нелинейная наука: рождение и развитие когерентных структур. — М. : Физматлит, 2007. — 560 с.
  • Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М. : Мир, 1977. — 624 с.
  • Филиппов А. Т. Многоликий солитон // Библиотечка "Квант". — Изд. 2, перераб. и доп. — М. : Наука, 1990. — 288 с.

Посилання
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.