Матриця розсіяння

Матриця розсіяння або S-матриця — оператор, який зв'язує між собою початкову і кінцеву хвильові функції квантової системи при розсіянні. Позначається зазвичай ${\hat {S}}$ :

\psi (\infty )={\hat {S}}\psi (-\infty )

.

де $\psi (-\infty )$ позначає хвильову функцію в нескінченно віддалений момент часу в минулому, до акту розсіяння, коли частинки перебувають дуже далеко одна від одної і взаємодією між ними можна знехтувати, а $\psi (\infty )$ позначає хвильову функцію в нескінченно віддалений момент часу після акту розсіяння, коли знову ж, частинки вже встигли розлетітися на таку віддаль, що взаємодією між ними можна знехтувати.

S-матриця унітарна, тобто

{\hat {S}}^{\dagger }{\hat {S}}=1

,

де значок $^{\dagger }$ позначає ермітове спряження.

Оператор переходу

Оператор

{\hat {\mathcal {T}}}={\hat {S}}-1

називають оператором переходу.

Розклад

Гамільтоніан системи частинок, які розсіюються одна на іншій можна записати у вигляді

{\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}={\hat {H}}_{0}^{\prime }+{\hat {V}}^{\prime }

.

В цьому виразі гамільтоніан системи частинок до розсіяння і після нього розбивається на різні складові для загальності — при зіткненнях склад системи може змінитися, наприклад, електрон може вибити інший електрон із атома.

Якщо функції $\varphi _{\alpha }$ є власними функціями оператора ${\hat {H}}_{0}$ :

{\hat {H}}_{0}\varphi _{\alpha }=E_{\alpha }\varphi _{\alpha }

,

а функції $\varphi _{\beta }$ є власними функціями оператора ${\hat {H}}_{0}^{\prime }$ :

{\hat {H}}_{0}^{\prime }\varphi _{\beta }=E_{\beta }\varphi _{\beta }

,

то хвильову функцію початкового і кінцевого станів можна розкласти

\psi (-\infty )=\sum _{\alpha }c_{\alpha }\varphi _{\alpha }

\psi (\infty )=\sum _{\beta }{\tilde {c}}_{\beta }\varphi _{\beta }

Тоді

{\tilde {c}}_{\beta }=\sum _{\alpha }S_{\beta \alpha }c_{\alpha }

Із цього виразу видно, що $S_{\beta \alpha }$ є матрицею, загалом нескінченного рангу. Завдяки цьому S-матриця й отримала свою назву.

Імовірність переходу

Імовірність переходу системи із стану $\alpha$ в стан $\beta$ визначається елементом матриці переходу ${\mathcal {T}}_{\beta \alpha }$ :

W_{\alpha \rightarrow \beta }=|{\mathcal {T}}_{\beta \alpha }|^{2}

Імовірність переходу в одиницю часу

Беручи до уваги, що енергія системи є інтегралом руху, матриця переходу записується у вигляді:

{\mathcal {T}}_{\beta \alpha }=-2\pi it_{\beta \alpha }\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })

Тоді загальна імовірність переходу за нескінченний проміжок часу $W_{\alpha \rightarrow \beta }$ дорівнює:

W_{\alpha \rightarrow \beta }=(2\pi )^{2}|t_{\beta \alpha }|^{2}[\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })]^{2}=(2\pi )^{2}|t_{\beta \alpha }|^{2}\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-{\frac {1}{2}}T}^{{\frac {1}{2}}T}dt\exp \left[{\frac {i}{\hbar }}(E_{\alpha }-E_{\beta })t\right]={\frac {2\pi }{\hbar }}|t_{\beta \alpha }|^{2}\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })\lim _{T\to \infty }T

Імовірність переходу в одиницю часу $w_{\alpha \rightarrow \beta }$ одержимо, поділивши повну імовірність $W_{\alpha \rightarrow \beta }$ на повний проміжок часу $T$ :

w_{\alpha \rightarrow \beta }={\frac {2\pi }{\hbar }}|t_{\beta \alpha }|^{2}\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })

Історія

Матрицю розсіяння ввів у обіг в 1937 році Джон Вілер, а в 1940 році цю ідею підхопив Вернер Гейзенберг.

Див. також

Оператор еволюції

Джерела

Ситенко О. Г. Теорія розсіяння. — К. : Либідь, 1993. — 332 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.