Розклад Річчі

Розклад виглядає так:

${\displaystyle R_{abcd}=\,S_{abcd}+E_{abcd}+C_{abcd}.}$

Його елементами є:

1. скалярна частина ${\displaystyle S_{abcd}}$,
2. напівбезслідова частина ${\displaystyle E_{abcd}}$,
3. повністю безслідова частина, має спеціальну назву тензор Вейля, ${\displaystyle C_{abcd}}$.

Кожен елемент має ті ж симетрії, що й тензор кривизни, але також володіє специфічними алгебраїчними властивостями.

Скалярна частина

${\displaystyle S_{abcd}={\frac {R}{(n-1)\,(n-2)}}\,H_{abcd}}$

залежить тільки від скалярної кривини ${\displaystyle R={R^{m}}_{m}}$ (${\displaystyle R_{ab}}$ — тензор Річчі), і метричного тензора ${\displaystyle g_{ab}}$, який комбінується таким чином, щоб дати тензор ${\displaystyle H_{abcd}}$ з симетрією тензора кривизни:

${\displaystyle H_{abcd}=g_{ad}\,g_{cb}-g_{ac}\,g_{db}=2g_{a[d}\,g_{c]b}.}$

Напівбезслідова частина

${\displaystyle E_{abcd}={\frac {1}{n-2}}\,\left(g_{ac}\,R_{bd}-g_{ad}\,R_{bc}+g_{bd}\,R_{ac}-g_{bc}\,R_{ad}\right)={\frac {2}{n-2}}\,\left(g_{a[c}\,R_{d]b}-g_{b[c}\,R_{d]a}\right)}$

виходить аналогічним чином з безслідової частини тензора Річчі

${\displaystyle S_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{n}}\,g_{ab}\,R}$

і метричного тензора ${\displaystyle g_{ab}}$.

Тензор Вейля повністю безслідовий у тому сенсі, що його згортка за будь-якою парою індексів дає нуль. Герман Вейль показав, що цей тензор вимірює відхилення псевдоріманового многовиду від конформно-плоского: якщо він звертається в нуль, то многовид локально конформно-еквівалентний плоскому многовиду.

Цей розклад — чисто алгебраїчний і не включає в себе ніяких диференціювань.

У разі Лоренцевого 4-мірного многовиду (наприклад, простору-часу) тензор Ейнштейна ${\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-1/2\,g_{ab}R}$ має слід, рівний скалярній кривині з протилежним знаком, так що безслідові частини тензора Ейнштейна та тензора Річчі збігаються

${\displaystyle S_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{4}}\,g_{ab}\,R=G_{ab}-{\frac {1}{4}}\,g_{ab}\,G.}$

Зауваження щодо термінології: позначення ${\displaystyle R_{abcd},\,C_{abcd}}$ — стандартні, ${\displaystyle S_{ab},\,E_{abcd}}$ — широко поширені, але не загальноприйняті, а тензори ${\displaystyle S_{abcd}}$ і ${\displaystyle H_{abcd}}$ не мають усталених позначень.