Розшарування Гопфа

Розшарування Хопфа — приклад локально тривіального розшарування тривимірної сфери над двовимірною з шаром-колом:

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\ p\,}}S^{2}}$.

Розшарування Хопфа графічно представлено як узагальнена стереографічна проекція ${\displaystyle S^{3}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Рисунок показує однаковим кольором точки на ${\displaystyle S^{2}}$ (праворуч) і відповідні їм шари-кола на стереографічній проекції ${\displaystyle S^{3}}$ (ліворуч).

Розшарування Хопфа не є тривіальним. Є також важливим прикладом головного розшарування.

Одним з найпростіших способів завдання цього розшарування є представлення тривимірної сфери ${\displaystyle S^{3}}$ як одиничної сфери в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, а двовимірної сфери ${\displaystyle S^{2}}$ як комплексної проективної прямої ${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}$. Тоді відображення:

${\displaystyle p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2})}$

і задає розшарування Хопфа. При цьому шарами розшарування будуть орбіти вільної дії групи ${\displaystyle S^{1}}$:

${\displaystyle \theta :(z_{1},z_{2})\mapsto (\theta z_{1},\theta z_{2})}$,

де коло представлена як множина одиничних за модулем комплексних чисел:

${\displaystyle S^{1}=\{\theta \mid \theta \in \mathbb {C} ,\,|\theta |=1\}}$.