Головне розшарування

У математиці, зокрема топології та диференціальній геометрії головним розшаруванням називається об'єкт який локально виглядає як прямий добуток X × G деякого простору X і групи G. У залежності від ситуації X може бути, наприклад, топологічним простором або диференційовним многовидом, а G відповідно топологічною групою або групою Лі.

Сам прямий добуток є окремим випадком головного розшарування який називається тривіальним головним розшаруванням.

Окрім топології і диференціальної геометрії де вони є одними з найважливіших об'єктів вивчення головні розшарування також широко використовуються в теоретичній фізиці зокрема калібрувальних теоріях.

Формальне визначення

Єдиного стандартного визначення головного розшарування немає. Як і для деяких інших видів розшарувань у математичній літературі існує декілька визначень,що відрізняються декількома моментами. Нижче подано один з поширених варіантів визначення.

Нехай локально тривіальне розшарування, де , і є топологічними просторами, що називаються загальним простором, базовим простором і шаром відповідно, а — неперервне сюр'єктивне відображення. Нехай також  — покриття бази відкритими множинами, і  — відповідні їм відображення тривіалізації. Якщо множина є непустою і то відображення

визначене з рівності є автоморфізмом (гомеоморфізмом на себе) простору . Таким чином визначене відображення

Нехай тепер — топологічна група, для якої визначена неперервна дія на просторі . Якщо всі визначені вище автоморфізми визначаються дією якогось елемента групи і відображення є неперервним то таке розшарування називається G-розшаруванням.

G-розшарування називається головним розшаруванням, якщо стандартний шар є гомеоморфним самій групі . Дія групи на всіх шарах визначається дією на локальній тривіалізації, де вона визначається звичайним множенням елементів групи. На загальному просторі теж природно визначається множення. Якщо і , де і існує тривіалізація для якої то .

У випадку гладких структур визначення залишаються такими ж тільки поняття топологічних просторів, неперервних відображень і топологічних груп замінюють диференційовними многовидами, диференційовними відобрженнями і групами Лі.

В альтернативних визначеннях часто не вимагається неперервність (диференційовність) відображень . Також вимоги локальної тривіальності замінюються на деякі слабші вимоги.

Властивості

  • Однією з найважливіших властивостей головних розшарувань є досить простий критерій тривіальності розшарування, тобто критерій того чи є розшарування гомеоморфним (чи дифеоморфним для категорії гладких многовидів) тривіальному розшаруванню розшарування
Головне розшарування є тривіальним тоді і тільки тоді коли для нього існує глобальний переріз. Аналогічне твердження не є справедливим для довільного локально тривіального розшарування.
Більш загально для підмножини в існує локальна тривіалізація тоді і тільки тоді коли для цієї множини існує локальний переріз. Справді при наявності такої тривіалізації можна визначити переріз як
, де є одиничним елементом групи .
Навпаки для деякого локального перерізу локальну тривіалізацію можна визначити як: для
Визначені локальними перерізами локальні тривіалізації є -еквіваріантними, тобто: якщо тривіалізацію
записати як
то відображення з шару над в групу задовольняє рівність:
Якщо тепер — деякий тривіалізаційний атлас і локальні перерізи на множинах визначені як і раніше і перетин двох множин є непустим, то
де , а відображення визначене як і раніше.
Навпаки можна дати характеристику гладких головних розшарувань на основі цих властивостей: нехай є гладким многовидом, є групою Лі і визначена дія групи яка є гладкою, вільною і для відображень визначених цією дією прообрази компактних множин є компактними. Тоді:
  • (простір орбіт) є гладким многовидом,
  • Проекція є субмерсією,
  • є гладким головним розшаруванням.

Приклади

  • Найпростішим прикладом головного розшарування є тривіальне розшарування У даному випадку є проекцією на першу компоненту, усі тривіалізаційні відображення є тотожними відображеннями, а дія групи визначається множенням на дугу компоненту.
  • Основним прикладом є так зване реперне розшарування або розшарування баз векторних просторів. У цьому випадку кожній точці базового простору присвоюється деяка впорядкований базис векторного простору так, що ці базиси змінюються неперервно зі зміною базисної точки. Структурною групою в цьому випадку є загальна лінійна група.
Для категорії гладких многовидів найважливіший приклад такої побудови пов'язаний з дотичним розшаруванням. Нехай M диференційовний многовид, координатна множина і відповідні координатні функції. Тоді векторні поля є базисом дотичного розшарування .
Усі інші базиси на цьому дотичному розшаруванні отримуються як де , а є диференційовним відображенням і дотичні простори в усіх точках множини ідентифікуються через базиси з координатних дотичних векторів. Тоді як тривіальні відображення можна взяти відображення
Якщо інша координатна множина і відповідні координатні функції то перехід між векторними полями і відбувається за допомогою матриця Якобі координатних функцій. Ці матриці гладко залежать від елементів множини
Множини довільного координатного атласу в цьому випадку будуть множинами тривіалізаційного атласу з визначеними вище відображеннями тривіалізації. Перехідні відображення бна загальній лінійній групі тоді будуть рівні множенню справа на відповідні матриці Якобі
  • Нехай довільне локально тривіальне -розшарування з тривілізаційним атласом і відповідними неперервними відображеннями переходу . Тоді з цим розшаруванням природно пов'язане головне розшарування з тим самим базовим простором локальним покриттям і відображеннями але стандартний шар у ньому замість рівний і локально розшарування має вигляд замість Замість дії групи на просторі розглядається дія групи через звичайне множення в групі. Визначене так розшарування називається асоційованим головним розшаруванням.
Оскільки головні розшарування є загалом простішими, ніж довільні локально тривіальні розшарування то для вивчення властивостей останніх часто буває корисним вивчення асоційованих головних розшарувань.

Див. також

Література

  • Bishop, Richard L.; Crittenden, Richard J. (1964). Geometry of manifolds. New York: Academic Press. ISBN 978-0-8218-2923-3.
  • Michor, Peter W. (2008). Topics in Differential Geometry. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 93. Providence: American Mathematical Society.
  • Steenrod, N. (1951). The Topology of Fibre Bundles. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.