Сфера Рімана

Числові координати на сфері Рімана вводяться трьома способами:

• афінна комплексна координата z, яка приймає значення ${\displaystyle \infty }$;
• проективні комплексні координати ${\displaystyle [z_{0}:z_{1}]}$;
• тривимірні дійсні координати ${\displaystyle \xi ,\eta ,\zeta }$, пов'язані рівнянням:

${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}+(\zeta -1)^{2}=1}$.

Сфера Рімана стереографічної проекції переводиться на площину

Перехід від одних координат до інших задається формулами:

${\displaystyle z={\frac {z_{1}}{z_{0}}}}$

${\displaystyle z_{0}:z_{1}=\left[{\begin{matrix}\zeta$ :(\xi +i\eta )&\Leftarrow \zeta >0\\0:1&\Leftarrow \zeta =0\end{matrix}}\right.}

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\xi +i\eta ={\frac {2z}{1+|z|^{2}}}\\\zeta ={\frac {2}{1+|z|^{2}}}\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle (\xi ,\eta ,\zeta )\mapsto z}$ задає відображення сфери з виколотим полюсом на комплексну площину, яке називається стереографічною проекцією.

Автоморфізмами сфери Рімана є перетворення Мебіуса. Нехай ${\displaystyle \ a,b,c,d}$ — матриця із ${\displaystyle GL_{2}(\mathbb {C} )}$. Її дія на сфері Рімана в термінах проективних комплексних координат — просто множення вектора-стовпця координат на матрицю. В афінних координатах дія виглядає так:

${\displaystyle z'={\frac {az+c}{bz+d}}}$

Сфера Рімана відома в теоретичній фізиці.

В спеціальній теорії відносності сфера Рімана є моделлю небесної сфери. Перетворення Мебіуса пов'язані з перетвореннями Лоренца. Перетворення Мебіуса і Лоренца зв'язані також зі спінорами. В квантовій механіці сфера Рімана параметризує стани систем, описуваних 2-вимірним простором (див. q-біт), зокрема спіна масивних часток з спіном 1/2, таких як електрон. В цьому контексті сферу Рімана називають сферою Блоха і використовують на ній координати «широта-довгота» майже як на звичайній сфері, тільки широту ${\displaystyle \theta }$ відраховують від полюса і ділять кут на 2, т. ч. ${\displaystyle 0<\theta <\pi /2}$ (див. мал.)

В такому випадку вірні співвідношення:

${\displaystyle z_{0}:z_{1}=\cos \theta :e^{i\varphi }\sin \theta }$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\ \ \ \xi +i\eta =e^{i\varphi }\sin {2\theta }\\\zeta -1=\cos {2\theta }\end{matrix}}\right.}$