Розширена невизначеність

Розширена невизначеність (англ. expanded uncertainty) — величина, що визначає інтервал навколо результату вимірювання, в межах якого ймовірно знаходиться більша частина розподілу значень, які обґрунтовано можуть бути приписані вимірюваній величині[1][2].

Таким чином, розширена невизначеність ${\displaystyle U\,}$ визначає границі «інтервалу невизначеності» навколо результату вимірювання ${\displaystyle y\,}$. Права границя цього інтервалу — ${\displaystyle y+U\,}$, ліва — ${\displaystyle y-U\,}$. Величина розширеної невизначеності, а отже і ширина цього інтервалу, залежить від вибраного під час розрахунку рівня довіри ${\displaystyle p\,}$, який менший або дорівнює одиниці.

Існує два рівноправних трактування інтервалу невизначеності. З одного боку, цей інтервал можна трактувати як такий, що містить у собі більшість тих значень, котрі можуть розглядатись як можливі результати вимірювання. Звичайно, з точки зору людини, що провела вимірювання, найкращим значенням є ${\displaystyle y\,}$. Але насправді, повторивши вимірювання, можна отримати інше значення. Таким чином, є ціла сукупність значень, які можуть бути результатами вимірювання за даною вимірювальною процедурою (методикою). Інтервал невизначеності якраз і обмежує ${\displaystyle p\,}$ — долю значень, які можуть бути результатами вимірювання.

Інше трактування спирається на поняття істинного значення вимірюваної фізичної величини. Вказаний інтервал можна розглядати як такий, що з ймовірністю ${\displaystyle p\,}$ містить у собі істинне значення фізичної величини[3]. Зрозуміло, що точна його (істинного значення) локалізація неможлива, оскільки це можливо лише за ідеального вимірювання, яке не може бути реалізовано в силу певних, як технічних, так і економічних та фізичних обмежень. Однак його місцеположення з достатньо високою, прийнятною для практичного використання ймовірністю, можна обмежити границями інтервалу невизначеності. Звичайно, залишається ймовірність 1${\displaystyle -p\,}$, що істинне значення за його межами.

Значення рівня довіри повинно бути достатньо високим, щоб була висока впевненість в тому, що інтервал невизначеності накриє істинне значення. Водночас при підвищенні ${\displaystyle p\,}$ ширина інтервалу зростає, що утруднює його практичне використання при прийнятті рішень за результатом вимірювання. Тому доводиться вибирати в певному розумінні «компромісне» значення рівня довіри. В більшості випадків значення ${\displaystyle p\,}$ приймають рівним 0,95. Це означатиме, що інтервал невизначеності включатиме 95% із усіх значень, які можуть бути результатом вимірювання, або з ймовірністю 0,95 накриватиме істинне значення вимірюваної фізичної величини. Разом з тим, під час особливо відповідальних вимірювань, які мають великий вплив на життя чи здоров'я людей, значення рівня довіри може бути 0,99 або і вище.

Розширена невизначеність математично виражається як добуток сумарної стандартної невизначеності на коефіцієнт охоплення

де ${\displaystyle k(p)\,}$ — коефіцієнт охоплення, значення якого залежить від ${\displaystyle p\,}$; ${\displaystyle u(y)\,}$ — сумарна стандартна невизначеність.

Коефіцієнт охоплення іноді ще називають коефіцієнтом покриття. Для від ${\displaystyle p=\,}$0,95 його значення наближено дорівнює 2.

Точніше значення коефіцієнту охоплення може бути визначене за відомого закону розподілу результату вимірювання ${\displaystyle y\,}$. Тоді за значення ${\displaystyle k(p)\,}$ приймається значення відповідної ${\displaystyle p\,}$-процентної точки розподілу. Так, наприклад, у випадку нормального розподілу 95-процентна точка розподілу (квантіль нормального розподілу) дорівнює 1,96, за рівномірного розподілу — 1,65. Значення коефіцієнтів охоплення як для вказаних розподілів, так і для інших можна знайти з допомогою відповідних статистичних таблиць у довідниках.

Розподіл вихідної величини ${\displaystyle y\,}$ можна просто ідентифікувати у випадку, коли вона (вихідна величина) є лінійною комбінацією вхідних величин. Якщо внески всіх вхідних величин в невизначеність співставні, тобто немає переважного внеску однієї з цих величин, то відповідно до центральної граничної теореми теорії ймовірності розподіл вихідної величини буде близьким до нормального.

Для функціональних залежностей, які не є лінійними, але можуть бути лінеаризовані шляхом розкладу в ряд Тейлора, розширену невизначеність можна оцінити за формулою

де ${\displaystyle t_{s}(p,\nu )\,}$ — коефіцієнт Ст'юдента, значення якого знаходять за таблицями за значенням рівня довіри ${\displaystyle p\,}$ та числом ефективних ступенів свободи ${\displaystyle \nu \,}$.

Число ступенів свободи вхідних величин приймають рівним:

• ${\displaystyle n\,}$– 1, якщо стандартна невизначеність оцінювалася за типом А. Тут ${\displaystyle n\,}$ — число результатів повторних спостережень.
• ${\displaystyle \infty \,}$ (нескінченність), якщо стандартна невизначеність оцінювалася за типом В.

Тоді ефективне число ступенів свободи вихідної величини можна оцінити за формулою Велча — Сатерсвейта:

де ${\displaystyle c_{k}\,}$, ${\displaystyle \nu _{k}\,}$ — коефіцієнт чутливості та число ступенів свободи ${\displaystyle k}$-ї вхідної величини.

Зрозуміло, що у випадку, коли всі вхідні величини мають однакове число ступенів свободи, ефективне число ступенів свободи вихідної величини буде рівне тому ж числу.

Разом з тим, часто зустрічаються істотно нелінійні залежності, що досить утруднює розрахунок розширеної невизначеності. У такому разі вдаються до імітаційного моделювання за методом Монте-Карло. Цей метод дозволяє одержати не лише оцінку сумарної стандартної невизначеності, але й за «зімітованими» значеннями вихідної величини з'ясувати вид її закону розподілу.

• Невизначеність вимірювання
• Стандартна невизначеність
• Сумарна стандартна невизначеність