t-розподіл Стьюдента

Т-розподіл Стьюдента має функцію щільності розподілу, що задається формулою

${\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}},\!}$

де ${\displaystyle \nu }$ — кількість ступенів вільності, ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функція. Формула також може бути записана у вигляді

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{{\sqrt {\nu }}\,B\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\!,}$

де B — бета-функція.

Для парних значень ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 5\cdot 3}{2{\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 4\cdot 2\,}}.}$

Для непарних значень ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 4\cdot 2}{\pi {\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 5\cdot 3\,}}.\!}$

Функція розподілу може бути записана в термінах I, регуляризованої неповна бета-функція. Для t > 0[2]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(u)\,du=1-{\frac {1}{2}}I_{x(t)}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right),}$

з

${\displaystyle x(t)={\frac {\nu }{t^{2}+\nu }}.}$

Інші значення отримуються симетрично. Альтернативна формула дійсна для t² < ν, така[2]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(u)\,du={\frac {1}{2}}+t{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)}$

де ₂F₁ — певний випадок гіпергеометричної функції.

Для певних значень параметра ${\displaystyle \nu }$ розподіл Стьюдента має просту форму.

• ${\displaystyle \nu =1}$

Функція розподілу:

${\displaystyle F(x)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan(x).}$

Функція щільності:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.}$

Див. Розподіл Коші

• ${\displaystyle \nu =2}$

Функція розподілу:

${\displaystyle F(x)={\tfrac {1}{2}}+{\frac {x}{2{\sqrt {2+x^{2}}}}}.}$

Функція щільності:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\left(2+x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

• ${\displaystyle \nu =3}$

Функція щільності:

${\displaystyle f(x)={\frac {6{\sqrt {3}}}{\pi \left(3+x^{2}\right)^{2}}}.}$

• ${\displaystyle \nu =\infty }$

Функція щільності:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}.}$

Див. нормальний розподіл

Загалом щільність t-розподілу схожа на дзвоноподібну функцію щільності нормального розподілу, з тією відмінністю, що у t-розподілу вона трохи нижча і ширша. За кількості ступенів свободи, що прямує до нескінченості, t-розподіл прямує до нормального розподілу з математичним сподіванням 0 і дисперсією 1.

На графіках нижче показано щільності t-розподілу для зростаючих значень параметру ${\displaystyle \nu }$. Для порівняння, нормальний розподіл зображено синім. Можна помітити, що із збільшенням ${\displaystyle \nu }$ щільність t-розподілу наближається до нормального.