Ряд Гранді

Якщо вважати ряд телескопічним:

${\displaystyle (1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots =0+0+0+\cdots =0\!\,.}$

Проте, після певних перетворень також можна отримати результат 1, що викликає протиріччя:

${\displaystyle 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots =1+0+0+0+\cdots =1\!\,.}$

Таким чином, різної розстановкою дужок у ряді Гранді, можна отримати суму і 0, і 1. (Варіації цієї ідеї мають назву "шахрайство Ейленберга-Мазура" і використовуються в теорії вузлів і алгебрі). Якщо вважати ряд Гранді розбіжною геометричною прогресією, то, використовуючи методи роботи з геометричними прогресіями, можна отримати третє значення, 1/2:

${\displaystyle s=1-1+1-1+\cdots \!\,}$

отже,

${\displaystyle 1-s=1-(1-1+1-1+\cdots )=1-1+1-1+\cdots =s\!\,,}$

що дає

${\displaystyle s={\frac {1}{2}}\!\,.}$

Проте, у попередніх міркуваннях не враховується визначення «сума ряду». Важливо вміти брати частині ряду в дужки, а також проводити арифметичні дії з рядами. Щодо цього ряду можна дійти двох висновків:

• Ряд 1 - 1 + 1 - 1 + ... не має суми.
• ... але його сума повинна дорівнювати 1/2.

У сучасній математиці сума ряду визначається як межа послідовності часткових сум, якщо вона існує. Послідовність часткових сум ряду Гранді: 1, 0, 1, 0, ... Очевидно, вона не збігається ні до якого числа (хоч і має дві граничні точки: 0 і 1). Таким чином, ряд Гранді розбігається.