Ряд Гранді

Ряд Гранді знакопереміжний ряд 1 − 1 + 1 − 1 + …, або:

Ряд названо на честь італійського католицького священика, філософа, математика й інженера Луїджі Гвідо Гранді, який в 1703 році розглянув його в книзі Quadratura circula et hyperbolae per infinitas hyperbolas geometrice exhibita.

Часткові суми ряду поперемінно рівні 1, 0, 1, 0, … , що означає, що ряд розходиться. Сума ряду за Чезаро дорівнює 1/2.

Основні міркування

Якщо вважати ряд телескопічним:

Проте, після певних перетворень також можна отримати результат 1, що викликає протиріччя:

Таким чином, різної розстановкою дужок у ряді Гранді, можна отримати суму і 0, і 1. (Варіації цієї ідеї мають назву "шахрайство Ейленберга-Мазура" і використовуються в теорії вузлів і алгебрі). Якщо вважати ряд Гранді розбіжною геометричною прогресією, то, використовуючи методи роботи з геометричними прогресіями, можна отримати третє значення, 1/2:

отже,

що дає

Проте, у попередніх міркуваннях не враховується визначення «сума ряду». Важливо вміти брати частині ряду в дужки, а також проводити арифметичні дії з рядами. Щодо цього ряду можна дійти двох висновків:

  • Ряд 1 - 1 + 1 - 1 + ... не має суми.
  • ... але його сума повинна дорівнювати 1/2.

Сума ряду

У сучасній математиці сума ряду визначається як межа послідовності часткових сум, якщо вона існує. Послідовність часткових сум ряду Гранді: 1, 0, 1, 0, ... Очевидно, вона не збігається ні до якого числа (хоч і має дві граничні точки: 0 і 1). Таким чином, ряд Гранді розбігається.

Узагальнення суми

Джерела

    Посилання

    • Davis, Harry F. (May 1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. ISBN 0-486-65973-9.
    • Devlin, Keith (1994). Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe. Scientific American Library. ISBN 0-7167-6022-3.
    • Kline, Morris (November 1983). Euler and Infinite Series. Mathematics Magazine 56 (5): 307–314. doi:10.2307/2690371.
    • Knopp, Konrad (1990) [1922]. Theory and Application of Infinite Series. Dover. ISBN 0-486-66165-2.
    This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.