Знакопереміжний ряд

Геометричний ряд 1/2-1/4+1/8-1/16+ ${\displaystyle \cdots }$ є збіжним до 1/3.

Знакопереміжний гармонічний ряд має скінченну суму, а гармонічний ряд  — ні.

Ряд Меркатора надає аналітичний вираз для натурального логарифму:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}\;=\;\ln(1+x).}$

Функції синус і косинус, що використовуються в тригонометрії, в математичному аналізі можна визначити як знакопереміжні ряди, попри те, що в елементарній алгебрі вони вводяться як відношення сторін прямокутного трикутника. Дійсно,

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$, та

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}.}$

Якщо з цих рядів вилучити закопереміжний коефіцієнт ${\displaystyle (-1)^{n}}$, то отримаємо гіперболічні функції ${\displaystyle sh}$ і ${\displaystyle ch}$, що використовуються в математичному аналізі.

Для цілого чи додатного індексу ${\displaystyle \alpha }$ функцію Бесселя першого роду можна визначити за допомогою закопереміжного ряду

${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha },}$

де ${\displaystyle \Gamma (z)}$ — це гамма-функція.

Якщо ${\displaystyle s}$ — комплексне число, тоді функція Діріхле подається у вигляді знакопереміжного ряду

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots ,}$

що використовується в аналітичній теорії чисел.

Ознака Лейбніца — ознака збіжності знакопереміжного ряду, встановлена Готфрідом Лейбніцем. Формулювання теореми: нехай дано знакопереміжний ряд

${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}b_{n},\quad \ b_{n}\geq 0}$,

для якого виконуються такі умови:

1. ${\displaystyle b_{n}\geq b_{n+1}}$, починаючи з деякого номера (${\displaystyle n\geq N}$),
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=0.}$

Тоді такий ряд збігається.

Зауваження

Ряди, що задовольняють ознаці Лейбніца, називаються рядами Лейбніца.

Слід зазначити, що монотонне спадання до нуля не є необхідним для збіжності знакопереміжного ряду (тоді як для довільного ряду умова ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=0}$ є саме необхідною умовою): ця ознака є достатньою, але не обов'язковою (наприклад, ряд ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+(-1)^{n}}}}$ збігається).

Ряд Лейбніца може абсолютно збігатися (якщо збігається ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$), а може збігатися умовно (якщо ряд із модулів розбігається).

Доведення

Розглянемо дві послідовності часткових сум ряду ${\displaystyle R_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots -b_{2n}}$ и ${\displaystyle L_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots +b_{2n+1}}$.

Перша послідовність не спадає: ${\displaystyle R_{n}-R_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+1}\leq 0}$ за першою умовою.

За тією ж умовою друга послідовність не зростає: ${\displaystyle L_{n}-L_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+3}\geq 0}$.

Друга послідовність мажорує першу, тобто ${\displaystyle L_{n}\geq R_{m}}$ для довільних ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$. Дійсно,

при ${\displaystyle m\geq n}$ маємо: ${\displaystyle L_{n}-R_{m}\geq L_{m}-R_{m}=b_{2m+1}>0,}$

при ${\displaystyle m\leq n}$ маємо: ${\displaystyle L_{n}-R_{m}\geq L_{n}-R_{n}=b_{2n+1}>0.}$

Отже вони обидві збігаються як монотонні обмежені послідовності.

Залишилося зауважити, що: ${\displaystyle \lim _{m,n}|R_{n}-L_{m}|=0}$, тому вони збігаються до спільної границі ${\displaystyle S}$, яка і є сумою початкового ряду.

Попутно ми показали, що для будь-якої часткової суми ряду ${\displaystyle S_{n}}$ є оцінка ${\displaystyle |S-S_{n}|<b_{n+1}}$.

Оцінка залишку ряду Лейбніца

З теореми Лейбніца випливає наслідок, який дозволяє оцінити похибку обчислення неповної суми ряду (залишок ряду):

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}b_{i}.}$

Залишок збіжного знакопереміжного ряду ${\displaystyle R_{n}=S-S_{n}}$ буде за модулем меншим від першого відкинутого доданку:

${\displaystyle \left|R_{n}\right|<b_{n+1}.}$

Доведення

Послідовність ${\displaystyle S_{2k}}$ монотонно зростає, оскільки ${\displaystyle S_{2k}=\sum \limits _{i=2}^{i=n}{\left({b_{2i-1}-b_{2i}}\right)},}$ а вираз ${\displaystyle b_{2i-1}-b_{2i}}$ невід'ємний за будь-якого цілого ${\displaystyle i}$. Послідовність ${\displaystyle S_{2k-1}}$ монотонно спадає, оскільки ${\displaystyle S_{2k+1}=S_{2k-1}-\left({b_{2k}-b_{2k+1}}\right),}$ а вираз у дужках невід'ємний. Як вже доведено під час доведення самої теореми Лейбніца, в обох цих послідовностей — ${\displaystyle S_{2k}}$ і ${\displaystyle S_{2k-1}}$ — однакова границя при ${\displaystyle k\to +\infty .}$ Так отримано ${\displaystyle S_{2k}\leqslant s\leqslant S_{2k-1}}$ і також ${\displaystyle s\leqslant S_{2k+1}.}$ Звідси ${\displaystyle 0\leqslant s-S_{2k}\leqslant S_{2k+1}-S_{2k}=b_{2k+1}}$ і ${\displaystyle 0\leqslant S_{2k-1}-s\leqslant S_{2k-1}-S_{2k}=b_{2k}.}$ Отже, для будь-якого ${\displaystyle k}$ виконується ${\displaystyle \left|{s-S_{k}}\right|\leqslant b_{k+1}}$, що й потрібно було довести.

Знакопереміжі ряди також іноді називають знакозмінними[1], проте цей термін може також означати будь-які ряди, які мають одночасно нескінченне число додатних і від'ємних членів.

Наведена вище оцінка не залежить від ${\displaystyle n}$. Отже, якщо {${\displaystyle a_{n}}$} монотонно збігається до ${\displaystyle 0}$, то оцінка абсолютної похибки для наближення нескінченних сум частковими є такою:

${\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|\leq |a_{m+1}|.}$

Ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$ абсолютно збіжний, якщо ряд ${\displaystyle \sum |a_{n}|}$ — збіжний.

Теорема: Абсолютно збіжний ряд є збіжним.

Доведення

Припустимо, що ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$ абсолютно збіжний. Тоді, ${\displaystyle \sum |a_{n}|}$ є збіжним, і з цього випливає, що ${\displaystyle \sum 2|a_{n}|}$ також збіжний. Оскільки ${\displaystyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$, тоді ряд ${\displaystyle \sum (a_{n}+|a_{n}|)}$ є збіжним за ознакою порівняння рядів. Тому ${\displaystyle \sum a_{n}}$ є збіжним як різниця двох збіжних рядів ${\displaystyle \sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|}$.

Ряд називають умовно збіжним, якщо він є збіжним, але не є абсолютно збіжним.

Наприклад, гармонічний ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}},\!}$

розбіжний, тоді як його знакопереміжна версія

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},\!}$

збігається за ознакою Лейбніца.

Для будь-якого ряду можна утворити новий ряд перестановкою порядку сумування. Ряд називається безумовно збіжним, якщо після будь-якої його перестановки утворюється ряд з тією ж збіжністю, що й початковий. Абсолютно збіжні ряди є безумовно збіжними. Але теорема Рімана про умовно збіжний ряд стверджує, що умовно збіжні ряди можна подати для утворення будь-якої збіжності.[2] Загальний принцип полягає в тому, що додавання нескінченних сум є комутативним лише для абсолютно збіжних рядів.

Наприклад, одне з хибних доведень, що ${\displaystyle 1=0}$, використовує порушення асоціативності для нескінченних сум.

Ще один приклад, як відомо

${\displaystyle \ln(2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots .}$

Але, оскільки ряд не є абсолютно збіжним, то можемо переставити члени ряду, щоб отримати ряд для ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln(2)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&\quad ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&\quad ={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2).\end{aligned}}}$

Насправді числове підсумування знакопереміжного ряду можна прискорити за допомогою будь-якої з різноманітних методик прискорення збіжності рядів. Однією з найдавніших методик є підсумування Ейлера, а також безліч сучасних методик, які можуть забезпечити ще швидшу збіжність рядів.

• Ознака Діріхле — узагальнення ознаки Лейбніца
• Ряд Гранді
• Інтеграл Норлунда–Райса

• Иванов Г. Е. Глава 9. Числовые ряды. §3. Ряды со знакопеременными членами // Лекции по математическому анализу. — М. : МФТИ, 2000. — Т. 1. — С. 299—303. — 800 прим. — ISBN 5-7417-0147-7.
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 296.
• Earl D. Rainville (1967) Infinite Series, pp 73–6, Macmillan Publishers.
• Weisstein, Eric W. Alternating Series(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.