Рівняння Гілла

Рівняння Гілла (Дж. Гілл, 1886[1]) — лінійне диференціальне рівняння другого порядку:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,}$

де ${\displaystyle f(t)}$ — періодична функція. Важливими частковими випадками рівняння Гілла є рівняння Матьє і рівняння Мейснера.

Рівняння Гілла можна уявити, як рівняння коливальної системи, де власна частота коливань змінюється за періодичним законом ${\displaystyle f(t)}$.

Рівняння Гілла дуже важливе для розуміння стійкості руху в осциляторних системах. Залежно від конкретної форми періодичної функції ${\displaystyle f(t)}$ розв'язки можуть мати вигляд стійких квазіперіодичних коливань, або коливання будуть розгойдуватися з наростанням амплітуди експоненційно. Рівняння Гілла дозволяє також зрозуміти розщеплення енергетичних рівнів електронів у періодичному полі кристалічної ґратки.

У фізиці прискорювачів рівняння Гілла надзвичайно важливе, оскільки описує поперечну лінійну динаміку частинок у фокусувальних магнітних полях (бетатронні коливання).

В основі теорії роботи гіперболоїдних мас-спектрометрів також лежать варіанти рівняння Гілла, рівняння Матьє і рівняння Мейснера (залежно від форми зміни в часі подаваних на електроди потенціалів).