Лінійне диференціальне рівняння

Лінійні диференціальні рівняння мають вигляд

${\displaystyle Ly=f\,}$

де диференціальний оператор L — лінійний оператор, у — невідома функція (наприклад, від часу ${\displaystyle y(t)}$), а функція праворуч — ƒ є даною функцією такого ж характеру, як у . Для такої функції ми можемо записати рівняння явно

${\displaystyle Ly(t)=f(t)\,}$

і, навіть точніше,

${\displaystyle L[y(t)]=f(t)\,}$

Лінійний оператор можна розглядати у формі

${\displaystyle L_{n}(y)\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+A_{1}(t){\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\cdots +A_{n-1}(t){\frac {dy}{dt}}+A_{n}(t)y\,}$

Лінійність умови на L виключає такі операції, як піднесення до квадрату похідної від у, але дозволяє, наприклад, брати другу похідну у. Зручно переписати це рівняння в операторній формі

${\displaystyle L_{n}(y)\equiv \left[\,D^{n}+A_{1}(t)D^{n-1}+\cdots +A_{n-1}(t)D+A_{n}(t)\right]y}$

де D є диференціальним оператором д / д (тобто Dy = у ', D ² у = у ", …), і _я  — задані функції.

Таке рівняння має порядок п, індекс старшої похідної у, у рівнянні.

Типовим простим прикладом лінійного диференціального рівняння є, наприклад, те, що використовуються для моделювання радіоактивного розпаду. Нехай N (т) позначає число радіоактивних атомів в деякому зразку матеріалу у час t. Тоді для деякої сталої А> 0, кількість радіоактивних атомів, що розпадається, може бути записана як

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-kN\,}$

Якщо у вважається функцією тільки однієї змінної, то говорять про звичайне диференціальне рівняння, в іншому разі похідні та їх коефіцієнти слід розуміти як вектори, матриці або тензори, тож одержимо (лінійне) рівняння в частинних похідних.

Випадок, коли ƒ = 0, називається однорідним рівнянням . Воно особливо важливе для розв'язання у загального випадку, оскільки його розв'язки можна додавати до розв'язку неоднорідного рівняння, щоб дістати інший розв'язок (методом часткового і однорідного розв'язків). Коли _я  — це числа, рівняння, називається рівнянням зі сталими коефіцієнтами.

Історично перший метод розв'язування звичайних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами пов'язаний з іменем Ейлера, який зрозумів, що розв'язки мають вигляд e^{${\displaystyle z}$x}, де ${\displaystyle z}$,- (в загальному випадку)-комплексні значення ${\displaystyle z}$. Щоб сума кількох похідних функції дорівнювала нулю, похідні повинні врівноважувати одна одну, тож єдиний спосіб досягнути цього — похідні мусять мати ту ж форму, що й вихідна функція. Міркуючи так, для розв'язання

${\displaystyle y^{(n)}+A_{1}y^{(n-1)}+\cdots +A_{n}y=0}$

покладемо ${\displaystyle y=e^{zx}}$, що дає

${\displaystyle z^{n}e^{zx}+A_{1}z^{n-1}e^{zx}+\cdots +A_{n}e^{zx}=0.}$

Діленням на ${\displaystyle e^{zx}}$ многочлен n-го порядку

${\displaystyle F(z)=z^{n}+A_{1}z^{n-1}+\cdots +A_{n}=0.\,}$

Це алгебраїчне рівняння ${\displaystyle F(t)=0}$, характеристичне рівняння, було розглянуто пізніше Ґаспаром Монжем і Оґюстеном-Луї Коші.

Формально, члени

${\displaystyle y^{(k)}\quad \quad (k=1,2,\dots ,n).}$

вихідних диференціальних рівнянь замінюються на ${\displaystyle z^{k}}$. Розв'язок алгебраїчного рівняння дає n значень ${\displaystyle z_{1},z_{2},...z_{n}}$. Підстановка будь-якого з цих значень z в ${\displaystyle zx}$ дає розв'язок ${\displaystyle e^{zx}}$ Оскільки однорідні лінійні диференціальні рівняння підпорядковані принципу суперпозиції, будь-яка лінійна комбінація цих функцій також задовольняє дане диференціальне рівняння.

Коли всі корені різні, ми маємо n різних розв'язків диференціального рівняння. Застосовуючи визначник Вандермонда, можна показати, що вони лінійно незалежні і разом утворюють базис в просторі всіх розв'язків диференціального рівняння.

Вищесказане дає розв'язок в разі, коли всі корені різні, тобто кожен з них має кратність 1. У загальному випадку, якщо z (можливо, комплексний) нуль (=корінь) Р(x), що має кратність m, то ${\displaystyle y=x^{k}e^{zx}\,}$ є розв'язками ЛОР (де ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,m-1\}\,}$). Застосування цього до всіх коренів дає набір з n різних і лінійно незалежних функцій, де n-степінь F(x). Як і раніше, ці функції утворюють базис простору розв'язків.

Якщо коефіцієнти диференціального рівняння дійсні, то перевагу віддаємо дійснозначним розв'язкам. Оскільки комплексні (не дійсні) корені сполучені в пари спряжених, як і відповідні базисні функції, x^ke^zx, то бажаний результат одержимо заміною кожної пари дійсною лінійною комбінацією з ${\displaystyle Re(y)}$ і ${\displaystyle Im(y)}$, де y — одна з функцій пари.

Випадки, що включають комплексні корені, можуть бути розглянуті за допомогою формули Ейлера.

Приклад

${\displaystyle y''''-2y'''+2y''-2y'+y=0\,}$

має характеристичне рівняння

${\displaystyle z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-2z+1=0.\,}$

Його корені i, -i, й 1 (кратності 2). Базис розв'язків

${\displaystyle e^{ix},\,e^{-ix},\,e^{x},\,xe^{x}\,.}$

Відповідний дійснозначний базис

${\displaystyle \cos x,\,\sin x,\,e^{x},\,xe^{x}\,.}$

Простий гармонічний осцилятор

схематичне подання простого гармонічного осцилятора

Диференціальне рівняння другого порядку

${\displaystyle D^{2}y=-k^{2}y,}$

що описує простий гармонічний осцилятор, можна переформулювати

${\displaystyle (D^{2}+k^{2})y=0.}$

Вираз в дужках може бути факторизований, що дає

${\displaystyle (D+ik)(D-ik)y=0,}$

це рівняння має пару лінійно незалежних розв'язків, один для

${\displaystyle (D-ik)y=0\,}$

інший для

${\displaystyle (D+ik)y=0.}$

Розв'язки, відповідно,

${\displaystyle y_{0}=A_{0}e^{ikx}}$

та

${\displaystyle y_{1}=A_{1}e^{-ikx}.}$

Ці розв'язки є базисом двовимірного «простору розв'язків» диференціального рівняння другого порядку. Крім того, для

${\displaystyle y_{0'}={A_{0}e^{ikx}+A_{1}e^{-ikx} \over 2}=C_{0}\cos(kx)}$

та

${\displaystyle y_{1'}={A_{0}e^{ikx}-A_{1}e^{-ikx} \over 2i}=C_{1}\sin(kx).}$

-останні тригонометричні розв'язки лінійно незалежні, а тому можуть слугувати іншим базисом простору розв'язків, що дає таку загальну форму розв'язку:

${\displaystyle y_{H}=C_{0}\cos(kx)+C_{1}\sin(kx).}$

Затухаючий гармонічний осцилятор

схематичне подання гармонічного осцилятора із затуханням

Враховуючи рівняння затухаючого гармонічного осцилятора:

${\displaystyle \left(D^{2}+{b \over m}D+\omega _{0}^{2}\right)y=0,}$

отримаємо спочатку характеристичне рівняння формальною заміною D на λ. Це рівняння має виконуватися для всіх у, наступним чином:

${\displaystyle \lambda ^{2}+{b \over m}\lambda +\omega _{0}^{2}=0.}$

Розв'яжемо:

${\displaystyle \lambda ={-b/m\pm {\sqrt {b^{2}/m^{2}-4\omega _{0}^{2}}} \over 2}.}$

Використаємо ці дані для розкладу вихідного диференціального рівняння:

${\displaystyle \left(D+{b \over 2m}-{\sqrt {{b^{2} \over 4m^{2}}-\omega _{0}^{2}}}\right)\left(D+{b \over 2m}+{\sqrt {{b^{2} \over 4m^{2}}-\omega _{0}^{2}}}\right)y=0.}$

Це визначає пару рішень, з яких одне відповідає

${\displaystyle \left(D+{b \over 2m}-{\sqrt {{b^{2} \over 4m^{2}}-\omega _{0}^{2}}}\right)y=0}$

а інше

${\displaystyle \left(D+{b \over 2m}+{\sqrt {{b^{2} \over 4m^{2}}-\omega _{0}^{2}}}\right)y=0}$

Розв'язки, відповідно,

${\displaystyle y_{0}=A_{0}e^{-\omega x+{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x}=A_{0}e^{-\omega x}e^{{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x}}$

та

${\displaystyle y_{1}=A_{1}e^{-\omega x-{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x}=A_{1}e^{-\omega x}e^{-{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x}}$

де ω = B / 2 . З цієї пари лінійно незалежних рішень можна побудувати іншу лінійно незалежну пару, що таким чином, слугуватиме базисом для двовимірного простору рішень:

${\displaystyle y_{H}(A_{0},A_{1})(x)=\left(A_{0}\sinh {\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x+A_{1}\cosh {\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x\right)e^{-\omega x}.}$

Однак, якщо | ω | <| ω ₀ |, то бажано позбутися уявних частин, виражаючи загальний розв'язок як

${\displaystyle y_{H}(A_{0},A_{1})(x)=\left(A_{0}\sin {\sqrt {\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}x+A_{1}\cos {\sqrt {\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}x\right)e^{-\omega x}.}$

Останній розв'язок відповідає слабко затухаючому випадку, тоді як попередній відповідає сильно затухаючому разі: розв'язок для слабко загальмованого випадку коливатиметься, а для розв'язку сильно загальмованого випадку це не так.

Щоб отримати розв'язок неоднорідного рівняння , слід знайти частковий розв'язок неоднорідного рівняння або методом невизначених коефіцієнтів, або методом варіації сталих; загальний розв'язок лінійного диференціального рівняння є сумою загального розв'язку відповідного однорідного рівняння і часткового інтеграла. Якщо ж задані початкові умови, можна застосувати перетворення Лапласа для отримання конкретного розв'язку безпосередньо.

Припустимо, нам дано

${\displaystyle {\frac {d^{n}y(x)}{dx^{n}}}+A_{1}{\frac {d^{n-1}y(x)}{dx^{n-1}}}+\cdots +A_{n}y(x)=f(x).}$

Для подальших обчислень, виділимо характеристичний многочлен

${\displaystyle P(v)=v^{n}+A_{1}v^{n-1}+\cdots +A_{n}.}$

Ми знайдемо базис розв'язків ${\displaystyle \{y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{n}(x)\}}$ як і в однорідному (F (X) = 0) випадку. Частковий розв'язок у _р (х) одержимо методом варіації сталих. Нехай коефіцієнти лінійної комбінації є функціями від х:

${\displaystyle y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x)+\cdots +u_{n}(x)y_{n}(x).}$

Для зручності позначень будемо опускати залежність від х (тобто, частини звичного запису вигляду (х)). Використовуючи операторний запис ${\displaystyle D=d/dx}$ і вільно використовуючи позначення, дане рівняння набуде вигляду ${\displaystyle P(D)y=f}$ , тож

${\displaystyle f=P(D)y_{p}=P(D)(u_{1}y_{1})+P(D)(u_{2}y_{2})+\cdots +P(D)(u_{n}y_{n}).}$

З обмеженнями

${\displaystyle 0=u'_{1}y_{1}+u'_{2}y_{2}+\cdots +u'_{n}y_{n}}$

${\displaystyle 0=u'_{1}y'_{1}+u'_{2}y'_{2}+\cdots +u'_{n}y'_{n}}$

${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle 0=u'_{1}y_{1}^{(n-2)}+u'_{2}y_{2}^{(n-2)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-2)}}$

параметри виносяться, після чого залишається дещо «зайве»:

${\displaystyle f=u_{1}P(D)y_{1}+u_{2}P(D)y_{2}+\cdots +u_{n}P(D)y_{n}+u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+u'_{2}y_{2}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.}$

Але ${\displaystyle P(D)y_{j}=0}$ , тому

${\displaystyle f=u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+u'_{2}y_{2}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.}$

Це, з обмеженнями, дає лінійну система за ${\displaystyle u'_{j}}$ . ЇЇ, насправді, завжди можна розв'язати поєднуючи методи Крамера і Вронського,

${\displaystyle u'_{j}=(-1)^{n+j}{\frac {W(y_{1},\ldots ,y_{j-1},y_{j+1}\ldots ,y_{n})_{0 \choose f}}{W(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}}.}$

Решта зводиться до інтегрування ${\displaystyle u'_{j}.}$

частковий розв'язок не є єдиним, ${\displaystyle y_{p}+c_{1}y_{1}+\cdots +c_{n}y_{n}}$ також задовольняє рівняння для будь-якого набору констант з основного поля.

Приклад

Покладемо, ${\displaystyle y''-4y'+5y=sin(kx)}$ . Ми візьмемо базис розв'язку, знайдений вище ${\displaystyle \{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\}}$ .

${\displaystyle W\,}$	${\displaystyle ={\begin{vmatrix}e^{(2+i)x}&e^{(2-i)x}\\(2+i)e^{(2+i)x}&(2-i)e^{(2-i)x}\end{vmatrix}}}$
	${\displaystyle =e^{4x}{\begin{vmatrix}1&1\\2+i&2-i\end{vmatrix}}}$
	${\displaystyle =-2ie^{4x}\,}$

${\displaystyle u'_{1}\,}$	${\displaystyle ={\frac {1}{W}}{\begin{vmatrix}0&e^{(2-i)x}\\\sin(kx)&(2-i)e^{(2-i)x}\end{vmatrix}}}$
	${\displaystyle =-{\frac {i}{2}}\sin(kx)e^{(-2-i)x}}$

${\displaystyle u'_{2}\,}$	${\displaystyle ={\frac {1}{W}}{\begin{vmatrix}e^{(2+i)x}&0\\(2+i)e^{(2+i)x}&\sin(kx)\end{vmatrix}}}$
	${\displaystyle ={\frac {i}{2}}\sin(kx)e^{(-2+i)x}.}$

Використовуючи список інтегралів від експоненціальних функцій,

${\displaystyle u_{1}\,}$	${\displaystyle =-{\frac {i}{2}}\int \sin(kx)e^{(-2-i)x}\,dx}$
	${\displaystyle ={\frac {ie^{(-2-i)x}}{2(3+4i+k^{2})}}\left((2+i)\sin(kx)+k\cos(kx)\right)}$

${\displaystyle u_{2}\,}$	${\displaystyle ={\frac {i}{2}}\int \sin(kx)e^{(-2+i)x}\,dx}$
	${\displaystyle ={\frac {ie^{(i-2)x}}{2(3-4i+k^{2})}}\left((i-2)\sin(kx)-k\cos(kx)\right).}$

І тому

${\displaystyle y_{p}\,}$	${\displaystyle ={\frac {i}{2(3+4i+k^{2})}}\left((2+i)\sin(kx)+k\cos(kx)\right)+{\frac {i}{2(3-4i+k^{2})}}\left((i-2)\sin(kx)-k\cos(kx)\right)}$
	${\displaystyle ={\frac {(5-k^{2})\sin(kx)+4k\cos(kx)}{(3+k^{2})^{2}+16}}.}$

Задля інтересу зазначимо, це рівняння має фізичний зміст, описує вимушений гармонічний осцилятор, з тертям; у _р представляє стійкий стан, а ${\displaystyle c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}$ є перехідним станом.

Лінійне диференціальне рівняння порядку n зі змінними коефіцієнтами має загальний вигляд

${\displaystyle p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0}(x)y(x)=r(x).}$

Лінійне диференціальне рівняння 1-го порядку зі змінними коефіцієнтами має загальний вигляд

${\displaystyle Dy(x)+f(x)y(x)=g(x).}$

Тут D — диференціальний оператор. Рівняння такого виду може бути розв'язане множенням на інтегрувальний множник

${\displaystyle e^{\int f(x)\,dx}}$,

що дає

${\displaystyle Dy(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x)\,dx},}$

спрощуючи за правилом добутку, дістанемо

${\displaystyle D(y(x)e^{\int f(x)\,dx})=g(x)e^{\int f(x)\,dx}}$

Звідси інтегруванням

${\displaystyle y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+c~,}$

${\displaystyle y(x)={\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+c \over e^{\int f(x)\,dx}}~.}$

Отже, розв'язком лінійного диференціального рівняння першого порядку

${\displaystyle y'(x)+f(x)y(x)=g(x),}$

з коефіцієнтами, які можуть залежати від х, є:

${\displaystyle y=e^{-a(x)}\left(\int g(x)e^{a(x)}\,dx+\kappa \right)}$

Зазначимо, що ${\displaystyle \kappa }$ — стала інтегрування, і

${\displaystyle a(x)=\int {f(x)\,dx}.}$

Компактна форма загального розв'язку

${\displaystyle y(x)=\int _{a}^{x}\!{[y(a)\delta (t-a)+g(t)]e^{-\int _{t}^{x}\!f(u)du}\,dt}\,.}$

${\displaystyle \delta (x)}$ — узагальнена дельта-функція Дірака.

• Перетворення Фур'є
• Перетворення Лапласа

• Лінійне диференціальне рівняння першого порядку // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 475. — 594 с.
• напівлінійних диференціальних рівнянь (в диспергуючих PDE Wiki)
• квазілінійного диференціального рівняння (в диспергуючих PDE Wiki)
• повністю нелінійних диференціальних рівнянь (в диспергуючих PDE Wiki)
• http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm

• Jack K. Hale; Joseph P. LaSalle (1963). Differential Equations: Linearity vs. Nonlinearity. SIAM Review (англ. ) 5 (3): 249–272.