Рівняння Кортевега — де Фріза

Завдамося метою знайти нетривіальні частинні розв'язки рівняння КдФ. Рішення будемо шукати у вигляді ${\displaystyle u(x,t)=s(x-ct)}$. Підставляючи функцію ${\displaystyle s(x-ct)}$ у рівняння КдФ отримаємо:

${\displaystyle -cs_{t}+\alpha ss_{x}+s_{xxx}=0\Leftrightarrow -cs_{x}+\alpha ss_{x}+s_{xxx}=0.}$

Інтегруємо останню рівність по ${\displaystyle x}$. Враховуючи, що ${\displaystyle \int ss_{x}\,dx=s^{2}-\int s_{x}s\,dx}$, отримаємо:

${\displaystyle -cs+{\frac {\alpha }{2}}s^{2}+s_{xx}=0.}$

Помножуємо отримане рівняння на ${\displaystyle 2s_{x}}$ і знову інтегруємо його. Враховуючи, що ${\displaystyle \int s_{x}s^{2}\,dx=s^{3}-\int s\cdot 2ss_{x}\,dx}$, ${\displaystyle \int s_{x}s_{xx}\,dx=s_{x}^{2}-\int s_{xx}s_{x}\,dx}$ отримаємо:

${\displaystyle -cs^{2}+{\frac {\alpha }{3}}s^{3}+s_{x}^{2}=0.}$

Нам потрібно вирішити останнє рівняння. Для того, щоб позначення не перетинались, знайдемо значення функції ${\displaystyle z(y)}$ яка задовольняє рівнянню

${\displaystyle -cz^{2}+{\frac {\alpha }{3}}z^{3}+z_{y}^{2}=0.}$

Легко перевірити безпосередньою підстановкою, що рішення має вигляд ${\displaystyle z(y)={\frac {3c}{\alpha ch^{2}({\frac {1}{2}}y{\sqrt {c}}+{\tilde {z_{0}}})}}}$, де ${\displaystyle {\tilde {z_{0}}}}$ залежить від початкових даних. Отже, знайдене часткове рішення КдФ має вигляд:

${\displaystyle u(x,t)={\frac {3c}{\alpha ch^{2}({\frac {1}{2}}(x-ct){\sqrt {c}}+{\tilde {u_{0}}})}}}$,

де ${\displaystyle c>0}$ — швидкість солітона, ${\displaystyle {\tilde {u_{0}}}}$ — положення його центру, — довільні сталі. У 1965 Забуський і Краскал виявили[6], що це рішення, котре являє собою усамітнену хвилю, має властивість, яка не була відома раніше, а саме: таке рішення «пружно» взаємодіє з іншою такою хвилею. Вони назвали такі хвилі солітонами. Видно, що солітони з великою амплітудою виявляються вужчим і рухаються швидше, і взаємодія двох окремих солітонів подібна до зіткнення частинок. Солітон-1 з більшою енергією наздоганяє повільніший солітон-2, але не переганяє його; між ними відбувається складна нелінійна взаємодія, в результаті якої скоріший солітон-1 «передає» свою енергію повільнішому солітону-2. Відтак солітон-2 починає рухатися скоріше, а солітон-1 уповільнюється до початкової швидкості солітона-2. Хвилі-солітони таким чином відтворюють картину взаємодії двох частинок чи куль, одна з яких наздоганяє і пружно передає при зіткненні свою енергію повільнішій. Вперше цей факт був формально доведений Лаксом у 1968[3].

Виникає питання, чому часткове рішення нелінійного рівняння має якесь значення. Коли ми маємо справу з лінійним рівнянням, скажімо, вигляду ${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x}$, де ${\displaystyle A(t)\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$, то за допомогою ${\displaystyle n}$ лінійно незалежних часткових рішень ми можемо виразити усі рішення системи. В лінійних рівняннях в часткових похідних аналогом фундаментальної системи рішень можуть служити власні функції — рішення задачі Штурма — Ліувілля. Таким чином, в лінійних рівняннях значення часткових рішень зрозуміло. Але яке значення може мати часткове рішення нелінійного рівняння? До роботи Краскала та Забуського[6] відповіді на це питання не було. Вони зробили наступне спостереження: Нехай ${\displaystyle u(x,t)}$ — нетривіальне рішення КдФ, яке достатньо швидко прямує до нуля при ${\displaystyle x\rightarrow \pm \infty }$. Тоді існують числа ${\displaystyle c_{1}>0,...,c_{N}>0}$ — власні швидкості ${\displaystyle u(x,t)}$, та набір фазових зсувів ${\displaystyle \theta _{1}^{\pm },...,\theta _{N}^{\pm }}$ таких, що:

${\displaystyle \lim \limits _{t\to \pm \infty }u(x+ct,t)={\begin{cases}s(x-\theta _{j}^{\pm },c_{j}),c=c_{j}\\0,c\not =c_{j},\end{cases}}}$

де ${\displaystyle s(x,c)={\frac {3c}{\alpha ch^{2}({\frac {1}{2}}x{\sqrt {c}})}}}$ — так звана усамітнена хвиля (рос. уединенная волна, англ. solitary wave). Можна перевірити, що для знайденого раніше рішення ця теорема виконується, хоча не очевидно, що власні швидкості у солітонів при ${\displaystyle t\rightarrow -\infty }$ такі ж, як і при ${\displaystyle t\rightarrow +\infty }$. Це твердження вірно для початкової задачі рівняння КдФ із розв'язками, що досить швидко прямують до нуля на нескінченості. Поведінка при ${\displaystyle t\rightarrow \pm \infty }$ обчислюється за початковими даними, тобто за значенням хвильової функції ${\displaystyle u(x,t=0)}$ та за умовами на нескінченності (у наведеному випадку — досить швидке наближення до нуля).

Будь-яке нетривіальне рішення КдФ при великих термінах поводить себе як декілька солітонних хвиль, які мають вигляд часткового рішення, поданого на початку цього розділу. Це дає змогу зрозуміти важливість знайденого часткового рішення і доводить його унікальне значення, хоча й лише у рівнянні КдФ. Але виняткова роль солітону виходить далеко за рамки рівняння КдФ. Солітонні розв'язки мають Нелінійне рівняння Шредінгера, рівняння синус-Ґордона, рівняння Кадомцева—Петвіашвілі, модифіковане рівняння Кортевега—де Фріза (мКдФ) та ін. Всі ці рівняння (особливо нелінійне рівняння Шредінгера) мають велике значення у математиці та фізиці^{[джерело?]}.

До роботи Краскала та Забуського рівняння КдФ було маловідомим та не викликало інтересу. КдФ — нелінійне рівняння, властивості якого не були відомі, не кажучи вже про те, щоб його розв'язати. Навіть на конференції на честь Кортевега, що проводилася у Данії^[коли?], це (нині широко відоме рівняння) не було названо серед його результатів[7]. У роботі Крускала та Забуського не було доведено центрального факту, зазначеного вище. Вони вирішували задачу чисельно і помітили зазначену несподівану поведінку рішення, розбудивши тим самим неабиякий інтерес до рівняння КдФ, що привело до створення нового методу в математичній фізиці — методу зворотної задачі розсіяння (МОЗР), за допомогою якого Гарднер, Грін, Крускал та Міура розв'язали задачу Коші для рівняння КдФ з достатньо швидко прямуючим до нуля рішенням при ${\displaystyle x\rightarrow \pm \infty }$. (тобто ${\displaystyle u(x,t)\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle x\rightarrow \pm \infty }$ достатньо швидко, можливо також зі своїми похідними по ${\displaystyle x}$). Саме тому робота[6] має центральне значення у цій тематиці.

Парою Лакса для рівняння КдФ ${\displaystyle u_{t}+\alpha uu_{x}+u_{xxx}}$ називаються оператори вигляду ${\displaystyle L=-\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\alpha }{6}}u\right)}$ ${\displaystyle A_{f}=-\left(4{\frac {\partial ^{3}}{\partial x^{3}}}+\alpha u{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\alpha }{2}}u_{x}+f(k,t)\right)}$, де ${\displaystyle f(k,t)}$ — будь-яка функція. Для цих операторів у методі зворотнього перетворення розсіяння (рос. метод обратного преобразования рассения (МОЗР), англ. Inverse Scattering Transform Method (IST)) ставляться рівняння: ${\displaystyle L\psi =\lambda \psi }$ та ${\displaystyle \psi _{t}=A_{f}\psi }$. Прямим численням можна довести, що ${\displaystyle L_{t}-[A_{f},L]=0}$, де ${\displaystyle [A_{f},L]}$ означає комутатор, тобто ${\displaystyle [A_{f},L]=A_{f}L-LA_{f}}$, а ${\displaystyle L_{t}=-u_{t}}$ є рівнянням КдФ незалежно від вигляду функції ${\displaystyle f(k,t)}$.

Рівняння КдФ є рівнянням руху Лагранжа-Ейлера для функції Лагранжа із такою густиною ${\displaystyle {\mathcal {L}}\,}$:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \,\partial _{t}\psi +\left(\partial _{x}\psi \right)^{3}-{\frac {1}{2}}\left(\partial _{x}^{2}\psi \right)^{2}\quad \quad \quad \quad (1)\,}$

де ${\displaystyle u}$ позначено як

${\displaystyle u={\frac {\partial \psi }{\partial x}}=\partial _{x}\psi .\,}$

• Солитоны в действии = Solitons in Action / Под ред. К. Лонгрена и Э. Скотта. — М. : Мир, 1981.
• Физическая энциклопедия / Под ред. А. М. Прохорова. — М. : Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — 703 с.
• Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи = Solitons and the Inverse Scattering Transform. — М. : Мир, 1987. — 480 с.
• Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения = Solitons and Nonlinear Wave Equations. — М. : Мир, 1988. — 696 с.
• Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. — М. : Наука, 1980. — 320 с.
• Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос = Nonlinear Waves, Solitons and Chaos. — М. : Физматлит, 2006. — 480 с.
• Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны = Spectral Transform and Solitons. — М. : Мир, 1985.
• Капеллер Т., Пёшль Ю. КдФ и КАМ = KdV & KAM. — Ижевск : РХД, 2008. — 360 с.
• Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике = Solitons in Mathematics and Physics. — М. : Мир, 1989. — 326 с.
• Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. — М. : Наука, 1986. — 527 с.
• Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны = Linear and Nonlinear Waves. — М. : Мир, 1977. — 624 с.
• Calogero F. Nonlinear Evolution Equations Solvable by the Spectral Transform // Comm. Math. Phys.. — 1978. — Т. 26, вип. 2. — С. 155-176.
• Eilenberger G. Solitons: Mathematical Methods for Physicists. — Springer, 1981.
• Fokas A. S. A Unified Approach To Boundary Value Problems. — SIAM, 2008.

• Солітон
• Дисперсійне середовище