Диференціальне рівняння з частинними похідними

Лінійне рівняння 2-го порядку має вигляд:

${\displaystyle \sum \limits _{i,j=1}^{m}{A_{ij}(x)u_{x_{i}^{}x_{j}}+\sum \limits _{i=1}^{m}{B_{i}(x)u_{x_{i}}+C(x)u=f(x).}}}$ де ${\displaystyle A_{ij},B_{i},C,f}$ — задані в області D дійсні функції точки x.

Для лінійного рівняння 2-го порядку характеристична форма є квадратичною:

${\displaystyle Q(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{m})=\sum \limits _{i=1}^{m}A_{ij}\lambda _{i}\lambda _{j}.}$

У кожній точці ${\displaystyle x\in D}$ квадратична форма Q за допомогою невиродженого афінного перетворення змінних ${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda _{i}(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{m})\quad i=1,\ldots ,m}$, може бути приведена до канонічного виду

${\displaystyle Q=\sum \limits _{i=1}^{m}\mathrm {A} _{i}\sigma _{i}^{2}.}$

де коефіцієнти ${\displaystyle \mathrm {A} _{i}\quad i=1,\ldots ,n,}$ приймають значення 1, -1, 0, причому число від'ємних коефіцієнтів (індекс інерції) і число нульових коефіцієнтів (дефект форми) є афінними інваріантами.

Коли всі ${\displaystyle \mathrm {A} _{i}=1}$ або всі ${\displaystyle \mathrm {A} _{i}=-1}$ тобто коли форма Q відповідно додатно або від'ємно визначена (дефінітна), рівняння називається еліптичним в точці ${\displaystyle x\in D}$. Якщо один з коефіцієнтів ${\displaystyle \mathrm {A} _{i}}$ від'ємний, а всі інші додатні (або навпаки), то рівняння називається гіперболічним в точці х. У випадку коли ${\displaystyle l,\,1<l<n-1}$ коефіцієнтів ${\displaystyle \mathrm {A} _{i}}$ — додатні, а решта n - l від'ємні, рівняння називається ультрагіперболічним. Якщо ж хоча би один з цих коефіцієнтів (але не всі) рівний нулю то рівняння називається параболічним в точці х. Кажуть, що у області визначення D рівняння є рівнянням еліптичного, гіперболічного або параболічного типу, якщо воно відповідно еліптичне, гіперболічне або параболічне у кожній точці цієї області. Еліптичне в області D рівняння називається рівномірно еліптичним, якщо існують дійсні числа ${\displaystyle k_{0}}$ і k_1 однакового знаку такі, що

${\displaystyle k_{0}\sum \limits _{i=1}^{m}\lambda _{i}^{2}\leqslant Q(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{m})\leqslant k_{1}\sum \limits _{i=1}^{m}\lambda _{i}^{2}}$

для всіх ${\displaystyle x\in D}$. Коли в різних частинах області D рівняння належить до різних типів, то воно називається рівнянням змішаного типу в цій області. У випадку лінійного рівняння від двох змінних тип рівняння в точці визначити досить просто. Лінійне рівняння другого порядку, залежне від двох змінних має вигляд:

${\displaystyle A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+...=0,}$

де A, B, C - коефіцієнти, залежні від змінних x і y, а крапки позначають члени, залежні від x, y, u і часткових похідних першого порядку: ${\displaystyle {\partial u}/{\partial x}}$ і ${\displaystyle {\partial u}/{\partial y}}$. Це рівняння схоже на рівняння конічного перетину:

${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.}$

Так само, як конічні перетини розділяються на еліпси, параболи і гіперболи, залежно від знаку дискримінанта ${\displaystyle D=B^{2}-AC}$, класифікуються рівняння другого порядку в заданій точці:

1. ${\displaystyle D=B^{2}-AC\,>0}$ — Гіперболічне рівняння
2. ${\displaystyle D=B^{2}-AC\,<0}$ — Еліптичне рівняння
3. ${\displaystyle D=B^{2}-AC\,=0}$ — Параболічне рівняння (тут передбачається, що в даній точці коефіцієнти A, B, C не рівні одночасно нулю).

У разі, коли всі коефіцієнти A, B, C — сталі, рівняння має один і той же тип в усіх точках площини змінних x і y. У випадку, якщо коефіцієнти A, B, C неперервно залежать від x і y, множини точок, в яких дане рівняння є гіперболічного (еліптичного) типу, утворює на площині відкриту область, що називається гіперболічною (еліптичною), а множина точок, в яких рівняння відноситься до параболічного типа, є замкнутою. Рівняння називається змішаним, якщо в деяких точках площини воно гіперболічне, а в деяких - еліптичне. В цьому випадку параболічні точки, як правило, утворюють лінію, звану лінією зміни типу або лінією виродження.

Рівняння, що описує розповсюдження тепла в однорідному стрижні має вигляд

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,}$

де u(t,x) - температура, і ${\displaystyle \alpha }$ — додатна константа, що описує швидкість розповсюдження тепла. Задача Коші ставиться таким чином:

${\displaystyle u(0,x)\,=f(x)}$,

де f(x) — довільна функція.

• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

Тут u(t,x) - зсув струни з положення рівноваги, або надмірний тиск повітря в трубі, або магнітуда електромагнітного поля в трубі, а c — швидкість розповсюдження хвилі. Для того, щоб сформулювати задачу Коші в початковий момент часу, слід задати зсув і швидкість струни в початковий момент часу:

${\displaystyle u(0,x)=f(x)\,}$

${\displaystyle u_{t}(0,x)=g(x)\,}$

Рівняння Лапласа для невідомої функції двох змінних має вигляд:

• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$

Його розв'язки називаються гармонічними функціями.

Дійсна і уявна частини будь-якої голоморфної функції ${\displaystyle f}$ комплексної змінної ${\displaystyle z=x+iy}$ є спряжено гармонічними функціями: вони обидві задовольняють рівнянню Лапласа і їх градієнти ортогональні. Якщо f=u+iv, то умови Коші — Рімана стверджують наступне:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\quad {\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial u}{\partial y}},\,}$

Додаючи і віднімаючи рівняння один з одного, одержуємо:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,\quad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0.\,}$

Також можна показати, що будь-яка гармонічна функція є дійсною частиною деякої аналітичної функції.

Граничні умови ставляться таким чином: знайти функцію u, яка задовольняє рівнянню Лапласа у всіх внутрішніх точках області S, а на межі області ${\displaystyle \partial S}$ — деякій умові. Залежно від виду умови розрізняють такі краєві задачі:

• ${\displaystyle u|_{\partial S}=\psi (x,y),\quad x,y\in \partial S}$ — задача Діріхле
• ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}{\big |}_{\partial S}=\psi (x,y),\quad x,y\in \partial S}$ — задача Неймана.

Рівняння Гінзбурга — Ландау використовуються для моделювання надпровідності. Рівняння має вигляд

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}A(x,t)=A+(1+ib){\frac {\partial ^{2}A}{\partial x^{2}}}-(1+ic)|A|^{2}A.}$

Розглянемо задачу про коливання струни довжини ${\displaystyle L}$. Вважатимемо, що на кінцях струни функція ${\displaystyle u(x,t)}$ набуває значення нуль:

${\displaystyle u(x,t){\big |}_{x=0}=u(x,t){\big |}_{x=L}=0}$

У початковий момент часу задамо початкові умови:

${\displaystyle u(x,t){\big |}_{t=0}=f(x)}$

${\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial t}}(x,t){\big |}_{t=0}=g(x)}$

Представимо розв'язок у вигляді:

${\displaystyle u(x,t)\,=X(x)T(t)}$

Після підстановки в початкове рівняння коливань, розділимо на добуток ${\displaystyle X(x)T(t)}$ одержуємо:

${\displaystyle {\dfrac {T''(t)}{a^{2}T(t)}}={\dfrac {X''(x)}{X(x)}}}$

Права частина цього рівняння залежить від ${\displaystyle t}$, ліва — від ${\displaystyle x}$, отже це рівняння може виконуватися лише тоді, коли обидві його частини рівні сталій величині, яку позначимо через ${\displaystyle -\lambda ^{2}}$:

${\displaystyle {\dfrac {T''(t)}{a^{2}T(t)}}={\dfrac {X''(x)}{X(x)}}=-\lambda ^{2}}$

Звідси знаходимо рівняння для ${\displaystyle X(x)}$:

${\displaystyle X''(x)+\lambda ^{2}X(x)\,=0}$

Нетривіальні розв'язки цього рівняння за однорідних краєвих умов можливі тільки при ${\displaystyle \lambda ={\dfrac {\pi n}{L}}}$ і мають вигляд:

${\displaystyle X_{n}(x)\,=sin\left({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)}$

Розглянемо рівняння для знаходження ${\displaystyle T(t)}$:

${\displaystyle T''(t)+a^{2}\lambda _{n}^{2}T(t)\,=0}$

Його розв'язок:

${\displaystyle T(t)\,=A_{n}cos\left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)+B_{n}sin\left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)}$

Отже, кожна функція вигляду

${\displaystyle u(x,t)\,=\left[A_{n}cos\left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)+B_{n}sin\left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)\right]sin\left({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)}$

є рішенням хвильового рівняння.

Щоб задовольнити початкові умови, утворимо ряд:

${\displaystyle u(x,t)\,=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left[A_{n}cos\left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)+B_{n}sin\left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)\right]sin\left({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)}$

Підстановка в початкові умови дає:

${\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }A_{n}sin\left({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)=f(x),\quad \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {a\pi n}{L}}B_{n}sin\left({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)=g(x)}$

Останні формули є розкладом функцій ${\displaystyle f(x)}$ і ${\displaystyle g(x)}$ у ряд Фур'є на відрізку ${\displaystyle [0,L]}$. Коефіцієнти розкладу обчислюються за формулами:

${\displaystyle A_{n}={\dfrac {2}{L}}\int \limits _{0}^{L}f(x)sin\left({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)dx,\quad B_{n}={\dfrac {2}{n\pi a}}\int \limits _{0}^{L}g(x)sin\left({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)dx}$

Цей спосіб рішення називається методом скінченних різниць. Цей метод заснований на визначенні похідної функції ${\displaystyle y=y(x)}$:

${\displaystyle ~y'=\lim _{\Delta x\to 0}{\Delta y \over \Delta x}=\lim _{\Delta x\to 0}{{f(x+\Delta x)}-f(x) \over \Delta x}}$

Якщо є функція ${\displaystyle u=u(x,t)}$, то часткова похідна буде наступна:

${\displaystyle ~u_{x}'={\partial u \over \partial x}=\lim _{\Delta x\to 0}{{u(x+\Delta x,t)-u(x,t)} \over \Delta x}}$

Оскільки ${\displaystyle \Delta x}$ ми використовуємо достатньо малий, знаки меж можна відкинути. Тоді одержимо такі вирази:

${\displaystyle ~u_{x}'\approx {{u(x+\Delta x,t)-u(x,t)} \over \Delta x}}$

${\displaystyle ~u_{t}'\approx {{u(x,t+\Delta t)-u(x,t)} \over \Delta t}}$

${\displaystyle u(x,t)=u_{i}^{j}}$

${\displaystyle u(x+\Delta x,t)=u_{i+1}^{j}}$

${\displaystyle u(x,t+\Delta t)=u_{i}^{j+1}}$

${\displaystyle \Delta x=h}$,

${\displaystyle \Delta t=\tau }$

Тоді попередні вирази можна записати так: ${\displaystyle u_{x}'\approx {{u_{i+1}^{j}-u_{i}^{j}} \over h}}$, ${\displaystyle u_{t}'\approx {{u_{i}^{j+1}-u_{i}^{j}} \over \tau }}$

Ці вирази називають правими диференціалами. Їх можна записати і по-іншому: ${\displaystyle u_{x}'\approx {{u_{i}^{j}-u_{i-1}^{j}} \over h}}$, ${\displaystyle u_{t}'\approx {{u_{i}^{j}-u_{i}^{j-1}} \over \tau }}$ - це ліві диференціали.

Підсумувавши обидва вирази одержимо наступне:

${\displaystyle 2u_{x}'\approx {{u_{i}^{j}-u_{i-1}^{j}+u_{i+1}^{j}-u_{i}^{j}} \over h}}$

${\displaystyle 2u_{t}'\approx {{u_{i}^{j}-u_{i}^{j-1}+u_{i}^{j+1}-u_{i}^{j}} \over \tau }}$

з яких одержується:

${\displaystyle u_{x}'\approx {{u_{i+1}^{j}-u_{i-1}^{j}} \over 2h}}$

${\displaystyle u_{t}'\approx {{u_{i}^{j+1}-u_{i}^{j-1}} \over 2\tau }}$

Аналогічно можна одержати і диференціали другого порядку:

${\displaystyle u_{xx}^{''}={{\partial ^{2}u} \over {\partial x^{2}}}\approx {{u_{i-1}^{j}-2u_{i}^{j}+u_{i+1}^{j}} \over h^{2}}}$

${\displaystyle u_{tt}^{''}={{\partial ^{2}u} \over {\partial t^{2}}}\approx {{u_{i}^{j-1}-2u_{i}^{j}+u_{i}^{j+1}} \over \tau ^{2}}}$

Рівняння коливань струни записується в такій формі: ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$.

Додаткові умови задаються у вигляді: ${\displaystyle u|_{x=0}=f_{1}(t)}$, ${\displaystyle u|_{x=l}=f_{2}(t)}$, ${\displaystyle u|_{t=0}=g_{1}(x)}$, ${\displaystyle u_{t}|_{t=0}=g_{2}(x)}$,

де ${\displaystyle f_{1}(t)}$ і ${\displaystyle f_{2}(t)}$ — позиції кінців (кріплень) струни в часі

а ${\displaystyle g_{1}(x)}$ і ${\displaystyle g_{2}(x)}$ — початковий стан і швидкість струни з якої ми можемо отримати стан струни в наступний момент часу за формулою

${\displaystyle u_{i}^{j+1}=\tau \cdot g_{2}(x)+u_{i}^{j}}$.

У обчисленнях використовують дискретизацію струни (розділяють її на однакові інтервали, довжина яких ${\displaystyle h}$.

Значення функції для інших ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle t}$ можна обчислити з рівняння коливань струни:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

${\displaystyle {{\partial ^{2}u} \over {\partial t^{2}}}={{u_{i}^{j+1}-2u_{i}^{j}+u_{i}^{j-1}} \over \tau ^{2}}}$

${\displaystyle {{\partial ^{2}u} \over {\partial x^{2}}}={{u_{i+1}^{j}-2u_{i}^{j}+u_{i-1}^{j}} \over h^{2}}}$

${\displaystyle {{u_{i}^{j+1}-2u_{i}^{j}+u_{i}^{j-1}} \over \tau ^{2}}=a^{2}{{u_{i+1}^{j}-2u_{i}^{j}+u_{i-1}^{j}} \over h^{2}}}$

${\displaystyle u_{i}^{j+1}={\tau ^{2}a^{2} \over h^{2}}\left(u_{i+1}^{j}-2u_{i}^{j}+u_{i-1}^{j}\right)+2u_{i}^{j}-u_{i}^{j-1}}$

Таким чином, ми одержали схему, за якою можна знайти значення функції для будь-яких ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle t}$, використовуючи значення функції при попередніх ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle t}$.

Цей метод дає наближену відповідь, ступінь точності ${\displaystyle \Theta (\tau ^{2}+h^{2})}$. Для достатньо точних результатів необхідно використовувати інтервали ${\displaystyle h<0.1}$ і ${\displaystyle \tau \leq {h^{2} \over 2}}$.