Рівняння теплопровідності

Рівня́ння теплопрові́дності — рівняння, що визначає закон зміни температури з часом при теплопередачі через теплопровідність.

${\displaystyle c{\frac {dT(\mathbf {r} )}{dt}}=-\nabla \mathbf {q(\mathbf {r} )} +S(\mathbf {r} )}$,

де c — питома теплоємність, ${\displaystyle \mathbf {q} }$ — тепловий потік, S — джерело тепла.

У випадку, коли тепловий потік пропорційний градієнту температури (закон Фур'є)

${\displaystyle \mathbf {q} =-\kappa \nabla T}$,

закон теплопровідності набирає форми:

${\displaystyle c{\frac {dT}{dt}}=\kappa \nabla ^{2}T+S}$.

Це неоднорідне диференційне рівняння в часткових похідних параболічного типу, схоже на рівняння дифузії.

Здебільшого при розв'язуванні рівняння теплопровідності вважають, що теплоємність і коефіцієнт теплопровідності не залежать від температури. В такому випадку рівняння теплопровідності стає лінійним.