Система коренів

Нехай ${\displaystyle V}$ — скінченновимірний евклідів простір із звичайним скалярним добутком, позначеним як ${\displaystyle (\cdot ,\;\cdot )}$. Система корнів у ${\displaystyle V}$ — це скінченна множина ${\displaystyle \Phi }$ ненульових векторів (званих корнями), що задовільняють наступним властивостям.

Цілістна умова для ${\displaystyle \scriptstyle {\langle \alpha ,\;\beta \rangle }}$ змушує ${\displaystyle \scriptstyle \beta }$ лежати на одній з вертикальних прямих. Комбінація цієї умови з цілістною умовою для ${\displaystyle \scriptstyle {\langle \alpha ,\;\beta \rangle }}$ зводить можливі кути між ${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$ и ${\displaystyle \scriptstyle \beta }$ не більш ніж до двох, для кожної з вертикальних прямих.

1. ${\displaystyle V}$ є лінійною оболонкою системи коренів.
2. Якщо два кореня ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$, ${\displaystyle \beta \in \Phi }$ є колінеарними векторами, то або вони збігаються, або ${\displaystyle \beta =-\alpha }$.
3. Для кожного кореня ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ множина ${\displaystyle \Phi }$ замкнута відносно віддзеркалення в гіперплощині, що перпендикулярна ${\displaystyle \alpha }$. Тобто для будь-яких двох коренів ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$, множина ${\displaystyle \Phi }$ містить віддзеркалення ${\displaystyle \beta }$

   ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta -2{\frac {(\alpha ,\;\beta )}{(\alpha ,\;\alpha )}}\alpha \in \Phi .}$

4. (Умова цілісності) Якщо ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$ є коренями у ${\displaystyle \Phi }$, тоді проекція ${\displaystyle \beta }$ на пряму, що проходить через ${\displaystyle \alpha }$, є напівцілим добутком ${\displaystyle \alpha }$. Тобто

   ${\displaystyle \langle \beta ,\;\alpha \rangle =2{\frac {(\alpha ,\;\beta )}{(\alpha ,\;\alpha )}}\in \mathbb {Z} .}$

Беручи до уваги властивість 3, умова цілісності еквівалентна твердженню, що різниця між ${\displaystyle \beta }$ та його відображенням ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )}$ дорівнює корню ${\displaystyle \alpha }$, помноженому на ціле число. Слід зазначити, що оператор

${\displaystyle \langle \cdot ,\;\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z} }$,

визначений властивістю 4, не є скалярним добутком. Він не симетричний і лінійний лише за першим аргументом.

Існує тільки одна система коренів рангу 1, вона складається з двох ненульових векторів ${\displaystyle \{\alpha ,\;-\alpha \}}$. Ця система називається ${\displaystyle A_{1}}$.

У ранзі 2 існують чотири можливі варіанти ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha }$, де ${\displaystyle n=0,\;1,\;2,\;3}$.

Система коренів рангу 2

Система коренів ${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$	Система коренів ${\displaystyle A_{2}}$
Система коренів ${\displaystyle B_{2}}$	Система коренів ${\displaystyle G_{2}}$

• Дынкин Е. Б. Структура полупростых алгебр Ли // Успехи математических наук. — 1947. — Т. 2, вип. 4(20). — С. 59–127.
• Дынкин Е. Б. Классификация простых групп Ли // Математический сборник. — 1946. — Т. 18(60), вип. 3. — С. 347–352.
• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Перев. с англ. Б. Р. Френкина. — М.: МЦНМО, 2008. — 216 с.
• Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам — М.: УРСС, 1995. — 344 с.
• Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы / Пер. с англ./Под ред. В. П. Платонова. — М.: Наука, 1980. — 400 с.
• Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (часть 2) / Пер. с франц./Под ред. А. И. Кострикина. — М.: Мир, 1972. — 332 с.