Спарені кола Архімеда

Зокрема, нехай ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, та ${\displaystyle C}$ будуть трьома кутами арбелосу, такими, що ${\displaystyle B}$ розташоване між ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle C}$. Нехай ${\displaystyle H}$ — точка, в який перетинаються велике півколо та перпендикуляр до ${\displaystyle AC}$ проведений через точку ${\displaystyle B}$. Відрізок ${\displaystyle BH}$ ділить арбелос на дві частини. Спареними колами будуть два кола, вписані в ці частини, та кожен з них є дотичним до одного з двох менших півкіл, до відрізку ${\displaystyle BH}$ і до великого півкола.[3]

Кожне з двох кіл однозначно визначається трьома дотичними. Їх побудова є окремим випадком задачи Аполлонія. Знайдено також альтернативні підходи до побудови двох кіл, конгруентних спареним колам.[4][5]

Нехай a та b — діаметри двох внутрішніх півкіл, так що зовнішнє півколо має діаметр a + b. Діаметр кожного спареного кола потім[3]

${\displaystyle d={\frac {ab}{a+b}}.}$

Або ж, якщо зовнішнє півколо має діаметр одиниці, а внутрішні кола мають діаметри ${\displaystyle s}$ та ${\displaystyle 1-s}$, діаметр кожного спареного кола[3]

${\displaystyle d=s(1-s).\,}$

Найменше коло, що охоплює обидва спарені кола, має ту ж саму площу, що й арбелос.[3]

Інші кола, що конгруентні зі спареними колами, також були побудовані з арбелоса. Як і спарені кола, ці кола також називаються архімедовими колами. До них належать коло Банкоффа, кола Шоха та кола Ву.

лінія Шоха