Стійкість (динамічні системи)

Нехай ${\displaystyle \Omega }$ — область простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, що містить початок координат, ${\displaystyle I=[\tau$ ;\infty )} , де ${\displaystyle \tau \in \mathbb {R} ^{1}}$. Розглянемо систему (1) виду:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\dot {x}}=f(t,x),x\in \mathbb {R} ^{n},f:I\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}\\f(t,0)=0.\end{matrix}}\right.}$ (1)

При будь-яких ${\displaystyle (t_{0},x_{0})\in I\times \Omega }$ існує єдине рішення x(t, t₀, x₀) системи (1), задовольняюче початковим умовам x(t₀, t₀, x₀) = x₀. Будемо припускати, що рішення x(t, t₀, x₀) визначено на інтервалі ${\displaystyle J^{+}=[t_{0};\infty )}$, причому ${\displaystyle J^{+}\subset I}$.

Нехай дані також дві динамічні системи:

${\displaystyle {\dot {X}}(t)=F(X(t-\tau )),\quad \quad \tau =\mathrm {const} >0;}$ (2)

${\displaystyle {\dot {X}}(t)=F(X(t-\tau ))+{\mathfrak {F}}(t,X_{t}).}$ (3)

Кожне рішення ${\displaystyle X(t,t_{0},\varphi )}$ системи (2) визначається початковими умовами: початковим моментом ${\displaystyle t_{0}}$ та початковою вектор-функцією ${\displaystyle \varphi (\xi ),}$ де ${\displaystyle X(t_{0}+\xi ,t_{0},\varphi )=\varphi (\xi )}$ за ${\displaystyle \xi \in [-\tau ,0].}$ Для виділених систем (2-3) із запізнюванням функції ${\displaystyle \varphi (\xi )}$ належать простору ${\displaystyle PC[-\tau ,0]}$ шматочно-неперервних за ${\displaystyle \xi \in [-\tau ,0]}$ функцій із рівномірною нормою ${\displaystyle ||\varphi ||_{\tau }={\underset {\xi \in [-\tau ,0]}{\sup }}||\varphi (\xi )||,}$ де ${\displaystyle ||\cdot ||}$ - евклідова норма вектора.

Функціонал ${\displaystyle {\mathfrak {F}}(t,\varphi )}$ заданий й є неперервним у області

${\displaystyle \{t\in \mathbb {E} :t\geq 0\}\times \Omega _{H},}$

де ${\displaystyle \Omega _{H}}$ - множина функцій ${\displaystyle \varphi (\xi )\in PC[-\tau ,0],}$ які задовільняють умові ${\displaystyle ||\varphi ||_{\tau }<H,\,\,(H=\mathrm {const} >0).}$ Припустимо, у цій області є справедливою оцінка

${\displaystyle ||R(t,\varphi )||\leq \beta (||\varphi ||_{\tau }^{\sigma }),\quad \quad \beta >0,\,\,\sigma >0.}$

Відтак система (3) має рішення ${\displaystyle X(t)\equiv 0.}$

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається стійким по Ляпунову, якщо для будь-яких ${\displaystyle t_{0}\in I}$ і ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує ${\displaystyle \delta >0}$, залежне тільки від ε и t₀ і не залежить від t, таке, що для будь-якого x₀, для котрого ${\displaystyle \|x_{0}\|<\delta }$, рішення x системи з початковими умовами x(t₀) = x₀ триває на всю піввісь t > t₀ і задовольняє нерівності ${\displaystyle \|x(t)\|<\varepsilon }$.

${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)(\forall t_{0}\in I)(\exists \delta (t_{0},\varepsilon )>0)(\forall x_{0}\in B_{\delta (t_{0},\varepsilon )})(\forall t\geq t_{0},t\in J^{+})\Rightarrow (\|x(t,t_{0},x_{0})\|<\varepsilon )}$.

Нехай задана ще одна система диференціальних рівнянь

${\displaystyle {\dot {X}}(t)=F(X(t)),}$ (4)

де ${\displaystyle X(t)}$ - n-вимірний вектор, компоненти векторної функції ${\displaystyle F(X)}$ визначені й неперервно диференційовані за усіх ${\displaystyle X\in \mathbb {E} ^{n}}$ та є однорідними функціями порядку ${\displaystyle \mu \geq 1.}$ Відтак система (4) має рішення ${\displaystyle X(t)\equiv 0.}$

Розгляньмо функцію Ляпунова ${\displaystyle V(X),}$ яка має наступні властивості:

• ${\displaystyle V(X)}$ неперервно диференційована;
• ${\displaystyle V(X)}$ додатно визначена;
• ${\displaystyle V(X)}$ - однорідна функція порядку ${\displaystyle \gamma >1}$;
• справедлива рівність ${\displaystyle ({\frac {\partial V(X)}{\partial X}})^{T}F(x)=-||X||^{\gamma +\mu -1}.}$

Диференціюючи систему (4) в силу системи (3) ${\displaystyle t\geq 0,\,\,||X_{t}||_{\tau }<H}$ маємо

${\displaystyle {\dot {V}}|_{(3)}=({\frac {\partial V(X(t))}{\partial X}})^{T}F(X(t))+({\frac {\partial V(X(t))}{\partial X}})^{T}(F(X(t))+R(t,X_{t}))\leq -||X(t)||^{\gamma +\mu -1}+b_{1}||X(t)||^{\gamma -1}(||F(X(t-\tau ))-F(X(t))||+\beta (||X_{t}||_{\tau })^{\sigma }),}$

де ${\displaystyle b_{1}=\mathrm {const} >0.}$ Нехай нульове рішення системи (4) є стійким. Якщо виконується нерівність ${\displaystyle \sigma >\mu >1,}$ то нульове рішення системи (3) є асимпотично стійким за будь-якого значення ${\displaystyle \tau >0.}$

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким, якщо воно стійке по Ляпунову і виконується умова${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|x(t_{*},t_{0},x_{0})\|=0}$ для всякого x з початковою умовою x₀, лежачим в досить малій околиці нуля.

• Теорема Лагранжа про стійкість рівноваги

• Беллман Р. {{{Заголовок}}}.
• Четаев Н. Г. {{{Заголовок}}}.
• Красовский Н. Н. {{{Заголовок}}}.
• Малкин И. Г. {{{Заголовок}}}.
• Демидович Б. П. {{{Заголовок}}}.
• Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. {{{Заголовок}}}. — ISBN 5-06-004162-X..
• Филиппов А. Ф. {{{Заголовок}}}.