Сферичні гармоніки

Сфери́чні гармо́ніки — набір ортонормованих функцій двох кутових змінних ${\displaystyle \theta }$ і ${\displaystyle \varphi }$, які складають повний базис функцій сферичного кута.

Візуальне зображення перших декількох сферичних гармонік. Червоний колір вказує на додатність функції, зелений на від'ємність.

Сферичні гармоніки позначаються ${\displaystyle Y_{l,m}(\theta ,\varphi )}$, де l = 0,1,2…, а m пробігає значення від -l до l.

${\textstyle Y_{l,m}(\theta ,\varphi )=(-1)^{(m+|m|)/2}{\sqrt {{\frac {2l+1}{4\pi }}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}P_{l}^{|m|}(\cos \theta )e^{im\varphi }}$,

де ${\displaystyle P_{l}^{|m|}(x)}$ - приєднані поліноми Лежандра.

Сферичні гармоніки є власними функціями оператора кутового моменту.

Множник в означенні сферичних гармонік вибирається з умови нормування

${\displaystyle \int Y_{l^{\prime },m^{\prime }}^{*}(\theta ,\varphi )Y_{l,m}(\theta ,\varphi )d\Omega =\delta _{l,l^{\prime }}\delta _{m,m^{\prime }}}$,

де інтегрування проводиться по повному сферичному куту, а ${\displaystyle \delta _{l,l^{\prime }}}$ - символ Кронекера.