Тензор інерції

Тензор інерції — в механіці абсолютно твердого тіла — тензорна величина, що зв'язує момент імпульсу тіла і кінетичну енергію його обертання з кутовою швидкістю:

${\displaystyle \ {\vec {L}}=J{\vec {\omega }}}$

де ${\displaystyle \ J}$ — тензор інерції, ${\displaystyle \ {\vec {\omega }}}$ — кутова швидкість, ${\displaystyle {\vec {L}}}$ — момент імпульсу

${\displaystyle \ E_{kin\ rot}={1 \over 2}\ {\vec {\omega }}^{\,T}\cdot J\cdot {\vec {\omega }}}$

${\displaystyle \ E_{kin}=E_{kin\ rot}+{p^{2} \over 2m}}$,

в компонентах це виглядає так:

${\displaystyle \ L_{i}=\sum _{j}J_{ij}\omega _{j}}$

${\displaystyle \ E_{kin\ rot}={1 \over 2}\sum _{ij}\omega _{i}J_{ij}\omega _{j}}$

Використовуючи визначення моменту імпульсу системи N матеріальних точок (перенумерованих в формулах нижче індексом k):

${\displaystyle \ {\vec {L}}=\sum _{k=1}^{N}[\ {\vec {r}}_{k}\times (\ m_{k}\ {\vec {v}}_{k}\ )\ ]}$

і кінематичний вираз для швидкості через кутову швидкість:

${\displaystyle \ {\vec {v}}=[\ {\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\ ]}$

і порівнюючи з формулою, що виражає момент імпульсу через тензор інерції і кутову швидкість (перша формула в цій статті), неважко отримати явний вираз для тензора інерції:

${\displaystyle \ J_{ij}=\sum _{k}(\ m_{k}\ (\delta _{ij}r_{k}^{2}-r_{i_{k}}r_{j_{k}})\ ))}$

або:

${\displaystyle \ J_{ij}=\int (\delta _{ij}r^{2}-r_{i}r_{j}\ )dm=\int (\delta _{ij}r^{2}-r_{i}r_{j}\ )\rho dV}$,

де r — відстані від точок до центру, навколо якого обчислюється система частинок.