Теорема Александрова про опуклі многогранники

Теорема Александрова про опуклі многогранники: Якщо між гранями двох замкнутих опуклих многогранників в тривимірному евклідовому просторі встановлено взаємно-однозначна відповідність так, що (i) одиничні нормалі до відповідних граней збігаються і (ii) жодну з граней не можна вмістити всередині відповідної до неї грані паралельним перенесенням, то многогранники можна отримати один з іншого паралельним перенесенням (і, зокрема, вони конгруентні).

Теорема Александрова про опуклі многогранники: Нехай ${\displaystyle P_{1}}$ і ${\displaystyle P_{2}}$ — замкнені опуклі многогранники в тривимірному евклідовому просторі з гранями ${\displaystyle Q_{1}^{1},\dots ,Q_{1}^{n}}$ і ${\displaystyle Q_{2}^{1},\dots ,Q_{2}^{n}}$ відповідно, причому для будь-якого ${\displaystyle k=1,\dots ,n}$ виконані умови: (i) одиничні нормалі до граней ${\displaystyle Q_{1}^{k}}$ і ${\displaystyle Q_{2}^{k}}$ збігаються і (ii) існує монотонна функція ${\displaystyle f_{k}}$ така, що ${\displaystyle f_{k}(Q_{1}^{k})=f_{k}(Q_{2}^{k})}$. Тоді многогранники ${\displaystyle P_{1}}$ і ${\displaystyle P_{2}}$ отримуються один з іншого паралельним перенесенням (і, зокрема, вони конгруентні).