Теорема Гротендіка про розщеплення

Теорему названо на честь Александра Гротендіка, який довів її в 1957 році.[1] Вона еквівалентна теоремі, доведеній 1913 року Джорджем Біркгофом,[2] але була відома вже 1908 року Йосипу Племелю[3] і 1905 року Давиду Гільберту.[4]

Формулювання Гротендіка

Кожне голоморфне векторне розшарування ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ над ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}$ голоморфно ізоморфне прямій сумі лінійних розшарувань:

${\displaystyle {\mathcal {E}}\cong {\mathcal {O}}(a_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(a_{n}),}$

де ${\displaystyle {\mathcal {O}}(a)}$ позначає розшарування з класом Черна ${\displaystyle a}$. Більш того, це подання єдине з точністю до перестановки доданків.

Формулювання Біркгофа

Оборотна матриця ${\displaystyle M}$, кожна компонента якої є многочленом Лорана від ${\displaystyle z}$, подається у вигляді добутку

${\displaystyle M=M^{+}M^{0}M^{-}}$,

де матриця ${\displaystyle M^{+}}$ — многочлен від ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle M^{0}}$ — діагональна матриця, і матриця ${\displaystyle M^{-}}$ — многочлен від ${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}}$.

• Теорема Гротендіка про розщеплення використовується в доведенні Мікалефа і Мура теореми про сферу з додатною комплексифікованою кривиною в ізотропних напрямках.

• Той же результат має місце для алгебричних векторних розшарувань над ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$ для будь-якого поля ${\displaystyle k}$.[5]

• Okonek, C.; Schneider, M.; Spindler, H. (1980). Vector bundles on complex projective spaces. Progress in Mathematics. Birkhäuser..